Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF:
- Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$.
- Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $+2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $+4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.
Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze)
- $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$
so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen (5) und (6) betrachtet wird.
- Für die Teilaufgaben (1) und (2) gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
- Für alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
- Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo "Wahrscheinlichkeit und WDF".
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:
- $${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.05cm}\rm V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$
(2) Mit $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.
- Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
- Man erhält durch einfache geometrische Überlegungen:
- $${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$
(3) Mit $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF.
- Den Maximalwert ist nun $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
- Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann:
- $${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$
(4) Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich Null ⇒ ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.
(5) Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:
- Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),
- aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
(6) Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt.
- Aus der rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:
- $${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$