Aufgabe 4.6: Quantisierungskennlinien

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Nichtlineare Quantisierungskennlinien

Es wird die nichtlineare Quantisierung betrachtet und es gilt weiterhin das Systemmodell gemäß  Aufgabe 4.5.

Die Grafik zeigt zwei Kompressorkennlinien  $q_{\rm K}(q_{\rm A})$:

• Rot eingezeichnet ist die sogenannte   A–Kennlinie,  die vom CCITT  ("Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique")  für das Standardsystem PCM 30/32 empfohlen wurde.  Für  $0 ≤ q_{\rm A} ≤ 1$  gilt hier:

$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A})} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \\ \frac{A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A}} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {{1}/{A} \le q_{\rm A} \le 1} \hspace{0.05cm}, \\ \\ {q_{\rm A} < {1}/{A}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

• Der blau–gestrichelte Kurvenzug gilt für die so genannte   13–Segment–Kennlinie.  Diese ergibt sich aus der A–Kennlinie durch stückweise Linearisierung;  sie wird in der  Aufgabe 4.5  ausführlich behandelt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Pulscodemodulation".
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite "Kompression und Expandierung".
• Für die durchgehend rot gezeichnete A-Kennlinie ist der Quantisierungsparameter  $A = 100$  gewählt. 
  Mit dem vom CCITT vorgeschlagenen Wert  $A = 87.56$  ergibt sich ein ähnlicher Verlauf.
• Für die beiden weiteren Kurven gilt  $A = A_1$   (strich–punktierte Kurve)  bzw.   $A = A_2$  (punktierte Kurve),  wobei für  $A_1$  bzw.  $A_2$  die beiden möglichen Zahlenwerte  $50$  und  $200$  vorgegeben sind.  In der Teilaufgabe  (3)  sollen Sie entscheiden,  welche Kurve zu welchem Zahlenwert gehört.

Fragebogen

1

Welche Argumente sprechen für die nichtlineare Quantisierung?

	Das größere SNR – auch bei gleichwahrscheinlichen Amplituden.
	Bei Audio sind kleine Amplituden wahrscheinlicher als große.
	Die Verfälschung kleiner Amplituden ist subjektiv störender.

2

Welche Unterschiede gibt es zwischen der A–Kennlinie und der 13–Segment–Kennlinie?

	Die A–Kennlinie beschreibt einen kontinuierlichen Verlauf.
	Die 13–Segment–Kurve nähert die A–Kennlinie stückweise linear an.
	Bei der Realisierung zeigt die A–Kennlinie wesentliche Vorteile.

3

Lässt sich allein aus  $q_{\rm A} = 1$   ⇒   $q_{\rm K} = 1$  der Parameter  $A$  ableiten?

	Ja.
	Nein.

4

Lässt sich  $A$  bestimmen,  wenn man vorgibt,  dass der Übergang zwischen den beiden Bereichen kontinuierlich sein soll?

	Ja.
	Nein.

5

Bestimmen Sie  $A$  aus der Bedingung  $q_{\rm K}(q_{\rm A} = 1/2) = 0.8756$.

$A \ = \ $

6

Welche Parameterwerte wurden für die weiteren Kurven verwendet?

	Es gilt  $A_1 = 50$  und  $A_2 = 200$.
	Es gilt  $A_1 = 200$  und  $A_2 = 50$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Aussagen 2 und 3:

• Eine Signalverfälschung von leisen Tönen oder in Sprachpausen wird subjektiv als störender empfunden als zum Beispiel ein zusätzliches Geräusch bei Heavy Metal.
• Bezüglich des Quantisierungsrauschens bzw. des SNR gibt es durch eine nichtlineare Quantisierung allerdings keine Verbesserung,  wenn von einer Gleichverteilung der Amplitudenwerte ausgegangen wird.
• Berücksichtigt man aber,  dass bei Sprach– und Musiksignalen kleinere Amplituden sehr viel häufiger auftreten als große   ⇒   "Laplaceverteilung",  so ergibt sich durch die nichtlineare Quantisierung auch ein besseres SNR.

(2)  Richtig sind die  Aussagen 1 und 2:

• Durch die Linearisierung in den einzelnen Segmenten ist in diesen bei der 13–Segment–Kennlinie die Intervallbreite der verschiedenen Quantisierungsstufen konstant,  was sich bei der Realisierung günstig auswirkt.
• Dagegen gibt es bei der nichtlinearen Quantisierung gemäß der A–Kennlinie keine Quantisierungsintervalle gleicher Breite.  Das bedeutet:   Die Aussage 3 ist falsch.

(3)  Richtig ist  "NEIN":

• Für  $q_{\rm A} = 1$  erhält man unabhängig von  $A$  den Wert  $q_{\rm K} = 1$.
• Allein mit dieser Vorgabe kann  $A$  also nicht ermittelt werden.

(4)  Richtig ist wiederum  "NEIN":

• Für  $q_{\rm A} = 1/A$  liefern beide Bereichsgleichungen den gleichen Wert  $q_{\rm K}= 1/[1 + \ln(A)]$.
• Auch damit kann  $A$  nicht bestimmt werden.

(5)  Mit dieser Forderung ist  $A$  nun berechenbar:

$$0.875 = \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A/2)} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} = \frac{1\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} {\rm ln}(2) \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\approx \frac{1-0.693 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm ln}(A) = \frac{0.875 - 0.307 } {1 -0.875 }= 4.544 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A \hspace{0.15cm}\underline {\approx 94} \hspace{0.05cm}.$$

(6)  Richtig ist die Aussage 2:

• Die Kurve für   $A_1 = 200$   liegt oberhalb der Kurve mit   $A = 100$,  die Kurve mit  $A_2 = 50$  unterhalb.
• Dies zeigt die folgende Rechnung,  gültig für  $q_{\rm A} = 0.5$:

$$A= 100\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1 + \ln(100) - \ln(2)}{1 + \ln(100)}= \frac{1+4.605- 0.693} {1 +4.605}\approx 0.876 \hspace{0.05cm},$$

$$A= 200\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1+5.298- 0.693} {1 +5.298}\approx 0.890 \hspace{0.05cm},$$

$$A= 50\text{:}\hspace{0.4cm} q_{\rm K}= \frac{1+3.912- 0.693} {1 +3.912}\approx 0.859 \hspace{0.05cm}.$$