Aufgabe 1.6: AKF und LDS bei Rice–Fading
Man spricht von Rice–Fading, wenn der den Mobilfunkkanal beschreibende komplexe Faktor $z(t)$ neben der rein stochastischen Komponente $x(t) +{\rm j} \cdot y(t)$ zusätzlich einen deterministischen Anteil der Form $x_0 + {\rm j} \cdot y_0$ besitzt.
Die Gleichungen des Rice–Fadings lassen sich in aller Kürze wie folgt zusammenfassen:
- $$r(t) = z(t) \cdot s(t) ,$$
- $$z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) ,$$
- $$x(t) = u(t) + x_0 ,$$
- $$y(t) = v(t) + y_0 .$$
Dabei gilt:
- Der direkte Pfad wird durch die komplexe Konstante $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$ beschrieben. Der Betrag dieser zeitinvarianten Komponente ist
- $$|z_0| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\hspace{0.05cm}.$$
- $u(t)$ und $v(t)$ sind Musterfunktionen mittelwertfreier Gaußscher Zufallsprozesse, beide mit Varianz $\sigma^2$ und miteinander nicht korreliert. Sie berücksichtigen Streu–, Brechungs– und Beugungseffekte auf einer Vielzahl von indirekten Pfaden.
- Der Betrag $a(t) = |z(t)|$ besitzt eine Rice–WDF, eine Eigenschaft, die für die Namensgebung dieses speziellen Mobilfunkkanals verantwortlich ist. Die WDF–Gleichung lautet für $a ≥ 0$:
- $$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm I }_0 (u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Rice–WDF für $|z_0|^2 = 0,\ 2, \ 4, \ 10$ und $20$. Für alle Kurven gilt $\sigma = 1$ ⇒ $\sigma^2 = 1$.
In dieser Aufgabe betrachten wir aber nicht die WDF des Betrags, sondern die Autokorrelationsfunktion $\rm (AKF)$ des komplexen Faktors $z(t)$,
- $$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\big [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ] \hspace{0.05cm},$$
sowie das dazugehörige Leistungsdichtespektrum $\rm (LDS)$
- $${\it \Phi}_z (f_{\rm D}) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.3cm} \varphi_z ({\rm \Delta}t) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente.
- Bezug genommen wird auch auf die Kapitel Autokorrelationsfunktion (AKF) und Leistungsdichtespektrum (LDS) im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 3, 5 und 6:
Es ist offensichtlich, dass
- $f_x(x)$ von $x_0$ abhängt,
- $f_y(y)$ von $y_0$ abhängt,
- $f_{\rm \phi}(\phi)$ vom Verhältnis $y_0/x_0$ abhängt.
Die angegebene Gleichung für die WDF $f_a(a)$ zeigt, dass der Betrag $a$ nur von $|z_0|$ abhängt.
- Für die AKF gilt mit $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$:
- $$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right] = {\rm E}\left [ \left ( x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \right )\cdot (x(t + {\rm \Delta}t) - {\rm j} \cdot (y(t+ {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm}.$$
- Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit zwischen Real– und Imaginärteil kann man die Gleichung wie folgt vereinfachen:
- $$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\left [ x(t) \cdot x(t + {\rm \Delta}t)\right ] + {\rm E}\left [ y(t) \cdot y(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm}.$$
- Der erste Anteil ergibt mit $x(t) = u(t) + x_0$ und $t' = t + \Delta t$:
- $${\rm E}\left [ x(t) \cdot x(t')\right ] = {\rm E}\left [ u(t) \cdot u(t')\right ] + x_0 \cdot {\rm E}\left [ u(t) \right ] + x_0 \cdot {\rm E}\left [ u(t') \right ] + x_0^2\hspace{0.05cm},$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm E}\left [ x(t) \cdot x(t + {\rm \Delta}t)\right ] = {\rm E}\left [ u(t) \cdot u(t + {\rm \Delta}t)\right ] + x_0^2 = \varphi_u ({\rm \Delta}t) + x_0^2 \hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei ist berücksichtigt, dass die Gaußsche Zufallsgröße $u(t)$ mittelwertfrei ist und die Varianz $\sigma^2$ besitzt.
- In gleicher Weise erhält man mit $y(t) = \upsilon (t) + y_0$:
- $${\rm E}\left [ y(t) \cdot y(t + {\rm \Delta}t)\right ] = \ ... \ = \varphi_v ({\rm \Delta}t) + y_0^2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_z ({\rm \Delta}t) = \varphi_u ({\rm \Delta}t) + \varphi_v ({\rm \Delta}t) + x_0^2 + y_0^2 = 2 \cdot \varphi_u ({\rm \Delta}t) + |z_0|^2 \hspace{0.05cm}.$$
- Wenn aber die AKF $\varphi_z(\Delta t)$ nur von $|z_0^2|$ abhängt, dann gilt dies auch für die Fouriertransformierte „LDS”.
(3) Der quadratische Erwartungswert, also das "Moment zweiter Ordnung", könnte zum Beispiel aus der Betrags–WDF berechnet werden:
- $$m_2 = {\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = {\rm E}\left [ a^2 \right ] = \int_{0}^{\infty}a^2 \cdot f_a(a)\hspace{0.15cm}{\rm d}a \hspace{0.05cm}.$$
- Gleichzeitig ist das Moment $m_2$ – also die Leistung – auch durch die AKF bestimmt:
- $${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = \varphi_z ({\rm \Delta}t = 0) = 2 \cdot \varphi_u ({\rm \Delta}t = 0) + |z_0|^2 = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2 \hspace{0.05cm}.$$
- Mit $\sigma = 1$ erhält man somit folgende numerische Ergebnisse:
- $$ \ \ |z_0|^2 = 0\text{:} \ \hspace{0.3cm}{\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 + 0 \hspace{0.15cm} \underline{ = 2} \hspace{0.05cm},$$
- $$ \ \ |z_0|^2 = 2\text{:} \ \hspace{0.3cm}{\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 + 2 \hspace{0.15cm} \underline{ = 4} \hspace{0.05cm},$$
- $$\ \ |z_0|^2 = 10\text{:} \ \hspace{0.3cm}{\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 + 10 \hspace{0.15cm} \underline{ = 12} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1, wie bereits in der Musterlösung zu (2) hergeleitet wurde.
Richtig wären auch die folgenden Aussagen:
- Die „blaue” AKF liegt um 4 über der „schwarzen”.
- Die „grüne” AKF liegt um 6 über der „blauen”.
(5) Alle Lösungsvorschläge treffen zu.
- Das „schwarze” LDS ist ein Jakes–Spektrum und damit auch kontinuierlich, das heißt, innerhalb eines Intervalls sind alle Frequenzen vorhanden.
- In der Autokorrelationsfunktion (AKF) des blauen bzw. des grünen Kanals tritt zusätzlich die Konstante $|z_0|^2$ auf.
- Im Leistungsdichtespektrum (LDS) gibt es wegen dieser Konstanten in der AKF jeweils Diracfunktionen bei der Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 0$ mit dem Gewicht $|z_0|^2$.
