Aufgabe 2.14: Petersen–Algorithmus?

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Grafik aus [Bos98]:
(1)   Schneller Decodieralgorithmus für RS–Codes.
(2)   Es ist somit nicht der Petersen–Algorithmus!

Im Kapitel  "Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung"  wurde die Decodierung von Reed–Solomon–Codes mit dem  "Petersen–Algorithmus"  behandelt.

• Dessen Vorteil ist, dass die einzelnen Schritte nachvollziehbar sind.

• Sehr von Nachteil ist aber der immens hohe Decodieraufwand.

Schon seit der Erfindung der Reed–Solomon–Codierung im Jahre 1960 beschäftigten sich viele Wissenschaftler und Ingenieure mit der Entwicklung möglichst schneller Algorithmen zur Reed–Solomon–Decodierung,  und auch heute ist die  "Algebraische Decodierung"  noch ein hochaktuelles Forschungsgebiet.

In dieser Aufgabe sollen einige diesbezügliche Begriffe erklärt werden.  Auf eine genaue Erklärung dieser Verfahren wurde in unserem  "$\rm LNTwww$"  verzichtet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung".

• Die Grafik zeigt das Flussdiagramm eines der bekanntesten Verfahren zur Decodierung von Reed–Solomon–Codes.  Um welchen Algorithmus es sich dabei handelt,  wird in der Musterlösung zu dieser Aufgabe genannt.
• Die Grafik wurde dem Fachbuch [Bos98]:   "Bossert, M.: Kanalcodierung. Stuttgart: B. G. Teubner, 1998"  entnommen.  Wir danken dem Autor Martin Bossert für die Erlaubnis,  die Grafik verwenden zu dürfen.

Fragebogen

1

Bei welchen Codes wird die Syndromdecodierung eingesetzt? Bei

	binären Blockcodes,
	Reed–Solomon–Codes,
	Faltungscodes.

2

Was ist beim Petersen–Algorithmus am aufwändigsten?

	Überprüfung, ob überhaupt  $($ein oder mehrere$)$  Fehler vorliegen,
	die Lokalisierung der Fehlerpositionen,
	die Fehlerwertbestimmung.

3

Welche Begriffe beziehen sich auf die Reed–Solomon–Decodierung?

	Der Berlekamp–Massey–Algorithmus,
	der BCJR–Algorithmus,
	der Euklidische Algorithmus,
	Frequenzbereichsverfahren,  basierend auf der DFT,
	der Viterbi–Algorithmus.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist die  Antwort 1:

• Prinzipiell wäre ein Syndromdecoder auch bei Reed–Solomon–Codes möglich,  aber bei den hier üblichen großen Codewortlängen  $n$  ergäben sich extrem lange Decodierzeiten.

• Bei Faltungscodes  $($diese arbeiten seriell$)$  macht Syndromdecodierung gar keinen Sinn.

(2)  Wie aus den Ausführungen im Theorieteil hervorgeht,  ist die Fehlerlokalisierung mit dem weitaus größten Aufwand verbunden   ⇒   Antwort 2.

(3)  Richtig sind die  Antworten 1, 3 und 4:

• Diese Verfahren sind auf der Seite  "Schnelle Reed–Solomon–Decodierung"  zusammengefasst.

• Der BCJR– und der Viterbi–Algorithmus beziehen sich dagegen auf die  "Decodierung von Faltungscodes".
• Die Grafik auf der Angabenseite zeigt den Berlekamp–Massey–Algorithus  $\rm (BMA)$.

• Die Erklärung zu dieser Abbildung finden Sie im Fachbuch  "[Bos98]:  Bossert, M.: Kanalcodierung. Stuttgart: B. G. Teubner, 1998"  ab Seite 73.