Aufgabe 2.5: Ternäre Signalübertragung

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eines verrauschten Ternärsignals

Betrachtet wird ein ternäres Übertragungssystem $(M = 3)$ mit den möglichen Amplitudenwerten $-s_0$ , $0$ und $+s_0$ .

Bei der Übertragung addiert sich dem Signal ein additives Gaußsches Rauschen mit dem Effektivwert $\sigma_d$ .

Die Rückgewinnung des dreistufigen Digitalsignals beim Empfängers geschieht mit Hilfe von zwei Entscheiderschwellen bei $E_{–}$ bzw. $E_{+}$ .

Zunächst werden die Auftrittswahrscheinlichkeiten der drei Eingangssymbole als gleichwahrscheinlich angenommen:

$p_{\rm -} = {\rm Pr}(-s_0) = {1}/{ 3}, \hspace{0.15cm} p_{\rm 0} = {\rm Pr}(0) = {1}/{ 3}, \hspace{0.15cm} p_{\rm +} = {\rm Pr}(+s_0) ={1}/{ 3}\hspace{0.05cm}.$

Die Entscheiderschwellen liegen vorerst mittig bei $E_{–} = \, –s_0/2$ und $E_{+} = +s_0/2$ .

Ab Teilaufgabe (3) sind die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{–} = p_+ = 1/4$ und $p_0 = 1/2$ , wie in der Grafik dargestellt.

Dafür soll durch Variation der Entscheiderschwellen $E_{–}$ und $E_+$ die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ minimiert werden.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel "Redundanzfreie Codierung".

Für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ eines $M$ –stufigen Nachrichtenübertragungssystems gilt

mit gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen
und Schwellenwerten genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Amplitudenstufen:

$p_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0}{(M-1) \cdot \sigma_d}}\right) \hspace{0.05cm}.$

Die Fehlerwahrscheinlichkeitswerte können Sie mit unserem HTML5/JavaScript–Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen numerisch ermitteln.

Verwenden Sie zur Überprüfung der Ergebnisse das SWF–Berechnungsmodul Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen

Fragebogen

$p_0 = 1/3, \ \sigma_d = 0.25 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \$

$\ \%$

$p_0 = 1/3, \ \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \$

$\ \%$

$p_0 = 1/2, \ \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \$

$\ \%$

$p_0 = 1/2, \ \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} E_{\rm +, \ opt} \ = \$

${\rm optimale \ Schwellen} \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \$

$\ \%$

$p_0 = 0.2, \ \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} E_{\rm +, \ opt} \ = \$

${\rm optimale \ Schwellen} \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \$

$\ \%$

Musterlösung

(1) Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt mit

$M = 3$ und

$\sigma_d/s_0 = 0.25$ :

$p_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0}{(M-1) \cdot \sigma_d}}\right)= {4}/{ 3}\cdot {\rm Q}(2) ={4}/{ 3}\cdot 0.0228\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3 \,\%} \hspace{0.05cm}.$

(2) Bei doppeltem Rauscheffektivwert nimmt auch die Fehlerwahrscheinlichkeit signifikant zu:

$p_{\rm S} = {4}/{ 3}\cdot {\rm Q}(1)= {4}/{ 3}\cdot 0.1587 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 21.2 \,\%} \hspace{0.05cm}.$

(3) Die beiden äußeren Symbole werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Q}(s_0/(2 \cdot \sigma_d)) = 0.1587$ verfälscht.

Die Verfälschungswahrscheinlichkeit des Symbols $0$ ist doppelt so groß (es wird durch zwei Schwellen begrenzt).
Unter Berücksichtigung der einzelnen Symbolwahrscheinlichkeiten erhält man:

$p_{\rm S} = {1}/{ 4}\cdot p + {1}/{ 2}\cdot 2p +{1}/{ 4}\cdot p = 1.5 \cdot p = 1.5 \cdot 0.1587 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23.8 \,\%} \hspace{0.05cm}.$

(4) Da das Symbol $0$ häufiger auftritt und zudem in beiden Richtungen verfälscht werden kann, sollten die Schwellen nach außen verschoben werden.

Die optimale Entscheiderschwelle $E_{\rm +, \ opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden in der Grafik gezeigten Gaußfunktionen. Es muss gelten:

Optimale Schwellen zur Frage (4)

$\frac{ 1/2}{ \sqrt{2\pi} \cdot \sigma_d} \cdot {\rm exp} \left[ - \frac{ E_{\rm +}^2}{2 \cdot \sigma_d^2}\right] = \frac{ 1/4}{ \sqrt{2\pi} \cdot \sigma_d} \cdot {\rm exp} \left[ - \frac{ (s_0 -E_{\rm +})^2}{2 \cdot \sigma_d^2}\right]$

$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm exp} \left[ \frac{ (s_0 -E_{\rm +})^2 - E_{\rm +}^2}{2 \cdot \sigma_d^2}\right]= {1}/{ 2} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm exp} \left[ \frac{ 1 -2 \cdot E_{\rm +}/s_0}{2 \cdot \sigma_d^2/s_0^2}\right]= {1}/{ 2}$

$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{ E_{\rm +}}{s_0}= \frac{1} { 2}+ \frac{\sigma_d^2} {s_0^2} \cdot {\rm ln}(2)\hspace{0.15cm}\underline {=0.673}\hspace{0.15cm}\approx {2}/ {3} \hspace{0.05cm}.$

(5) Mit dem näherungsweisen Ergebnis aus Teilaufgabe (4) erhält man:

$p_{\rm S} \ = \ { 1}/{4} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0/3}{ \sigma_d}}\right)+ 2 \cdot { 1}/{2} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{2s_0/3}{ \sigma_d}}\right) +{ 1}/{4} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0/3}{ \sigma_d}}\right)$

Optimale Schwellen zur Frage (6)

$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S} \ = \ = { 1}/{2} \cdot {\rm Q} \left( 2/3 \right)+ {\rm Q} \left( 4/3 \right)= { 1}/{2} \cdot 0.251 + 0.092 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 21.7 \,\%} \hspace{0.05cm}.$

(6) Nach ähnlicher Rechnung wie unter Punkt (4) erhält man

$E_+ = 1 \, –0.0673 \ \underline{= 0.327} \approx 1/3$ .

Es gilt weiterhin $E_{–} = \, –E_+$ .

(7) Ähnlich wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe (5) erhält man nun:

$p_{\rm S} \ = \ 0.4 \cdot {\rm Q} \left( 4/3 \right)+ 2 \cdot 0.2 \cdot{\rm Q} \left( 2/3 \right)+0.4 \cdot {\rm Q} \left( 4/3 \right)$

$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S} \ = \ 0.4 \cdot (0.092 + 0.251 + 0.092) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 17.4 \,\%} \hspace{0.05cm}.$

Diskussion des Ergebnisses:

Es ergibt sich demnach eine kleinere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $(17.4 \ \%$ gegenüber $21.2 \ \%)$ als bei gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten.

Allerdings liegt nun keine redundanzfreie Codierung mehr vor, auch wenn die Amplitudenkoefiizienten statistisch voneinander unabhängig sind.

Während bei gleichwahrscheinlichen Ternärsymbolen

die Entropie $H = {\rm log}_2(3) = 1.585 \ {\rm bit/Ternärsymbol}$ beträgt
woraus die äquivalente Bitrate gemäß $R_{\rm B} = H/T$ berechnet werden kann,
gilt hier mit den Wahrscheinlichkeiten $p_0 = 0.2$ und $p_{–} = p_+ = 0.4$ :

$H \ = \ 0.2 \cdot {\rm log_2} (5) + 2 \cdot 0.4 \cdot {\rm log_2} (2.5)= 0.2 \cdot 2.322 + 0.8 \cdot 1.322 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.522\,\, {\rm bit/Tern\ddot{a}rsymbol}} \hspace{0.05cm}.$

Das bedeutet: Die äquivalente Bitrate ist also um $4 \ \%$ kleiner, als sie für $M = 3$ maximal möglich wäre.