Aufgabe 4.1: Tiefpass- und Bandpass-Signale

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Vorgegebene Signalverläufe

Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen,  mit  ${\rm si}(x)=\sin(x)/x$:

$$x(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_x}) ,$$

$$y(t) = 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si}( \pi \cdot {t}/{T_y}) .$$

Hierbei geben  $T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$  und  $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$  jeweils die erste Nullstelle von  $x(t)$  bzw.  $y(t)$  an.

Das Signal  $d(t)$  ist die Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):

$$d(t) = x(t)-y(t) .$$

In der Teilaufgabe  (4)  ist nach den Integralflächen der zeitlich begrenzten Signale  $x(t)$  und  $d(t)$  gefragt.  Für diese gilt:

$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$

Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem  Satz von Parseval:

$$E_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|x(t)|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|X(f)|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f ,$$

$$E_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|d(t)|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|D(f)|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f .$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen.

• Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums  $X(f)$  führt zu einer  $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:

$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; |\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\; \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t), \hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x.$$

Fragebogen

1

Wie lautet das Spektrum  $X(f)$  des Signals  $x(t)$?  Wie groß sind  $X(f = 0)$  und die physikalische, einseitige Bandbreite  $B_x$  von  $x(t)$?

$X(f=0)\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

$B_x \ = \ $  $\text{kHz}$

2

Wie lauten die entsprechenden Kenngrößen des Signals  $y(t)$?

$Y(f=0)\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

$B_y \ = \ $  $\text{kHz}$

3

Berechnen Sie das Spektrum  $D(f)$  des Differenzsignals  $d(t) = x(t) - y(t)$.  Wie groß sind  $D(f = 0)$  und die (einseitige) Bandbreite  $B_d$?

$D(f=0)\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

$B_d \ = \ $  $\text{kHz}$

4

Wie groß sind die Integralflächen  $F_x$  und  $F_d$  der Signale  $x(t)$  und  $d(t)$?

$F_x\ = \ $  $\text{Vs}$

$F_d\ = \ $  $\text{Vs}$

5

Wie groß sind die (auf  $1\ Ω$  umgerechneten) Energien dieser Signale?

$E_x \ = \ $  $\text{V}^2\text{s}$

$E_d \ = \ $  $\text{V}^2\text{s}$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die  $\rm si$–förmige Zeitfunktion  $x(t)$  lässt auf ein Rechteckspektrum  $X(f)$  schließen.

• Die absolute, zweiseitige Bandbreite  $2 \cdot B_x$  ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle.  Daraus folgt:

$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x} = \frac{1}{2 \cdot 0.1 \hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$

• Da der Signalwert bei  $t = 0$  gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:

$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x} = \frac{10 \hspace{0.1cm}{\rm V}}{10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \hspace{0.1cm}{\rm mV/Hz}}.$$

(2)  Aus  $T_y = 0.167 \,\text{ms}$  erhält man  $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$.

• Zusammen mit  $y(t = 0) = 6\,\text{V}$  führt dies zum gleichen Spektralwert  $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$  wie bei der Teilaufgabe  (1).

Rechteckförmiges Bandpass–Spektrum

(3)  Aus  $d(t) = x(t) - y(t)$  folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation:   $D(f) = X(f) - Y(f).$

• Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen  $3 \,\text{kHz}$  und  $5 \,\text{kHz}$.
• Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit  $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$.  In diesem Frequenzintervall ist  $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$.  Außerhalb, also auch bei  $f = 0$, gilt  $D(f)\;\underline{ = 0}$.

(4)  Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$.  Daraus folgt:

$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x} = 10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.001 \hspace{0.1cm}{\rm Vs}},$$

$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

⇒   Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile.

(5)  In beiden Fällen ist die Berechnung der Signalenergie im Frequenzbereich einfacher als im Zeitbereich, da hier die Integration auf eine Flächenberechnung von Rechtecken zurückgeführt werden kann:

$$E_x = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.01 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}},$$

$$E_d = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 2 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.004 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}}.$$