Aufgabe 4.6: Generierung von Produktcodes
Es soll ein $\rm Produktcode \ (42, \ 12)$ generiert werden, der auf folgenden Komponentencodes aufbaut:
- dem Hammingcode $\rm HC \ (7, \ 4, \ 3)$ ⇒ $\mathcal{C}_1$,
- dem verkürzten Hammingcode $\rm HC \ (6, \ 3, \ 3)$ ⇒ $\mathcal{C}_2$.
Die entsprechenden Codetabellen sind rechts angegeben, wobei jeweils drei Zeilen unvollständig sind. Diese sollen von Ihnen ergänzt werden.
Das zu einem Informationsblock $\underline{u}$ gehörige Codewort ergibt sich allgemein entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$. Wie auch in der Aufgabe 4.6Z wird hier von folgenden Generatormatrizen ausgegangen:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} { \boldsymbol{\rm G}}_2 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
In der gesamten Aufgabe gelte für den Informationsblock:
- $${ \boldsymbol{\rm U}} = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Gesucht sind entsprechend der Nomenklatur auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes:
- die Parity–Matrix $\mathbf{P}^{(1)}$ bezüglich des horizontalen Codes $\mathcal{C}_1$,
- die Parity–Matrix $\mathbf{P}^{(2)}$ bezüglich des vertikalen Codes $\mathcal{C}_2$,
- die Checks–on–Checks–Matrix $\mathbf{P}^{(12)}$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Produktcode.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Grundstruktur eines Produktcodes.
- Die beiden Komponentencodes werden auch in der Aufgabe 4.6Z behandelt.
Fragebogen
Musterlösung
Allgemein gilt $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$. Daraus folgt für
- den ersten Zeilenvektor:
- $$\begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 &1 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- den zweiten Zeilenvektor:
- $$\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- den dritten Zeilenvektor
- $$\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 &0 &0 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:
- $$\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- $$\begin{pmatrix} 1 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Zu dieser Teilaufgabe ist weiter anzumerken:
- Die angegebene erste Spalte ist schon allein deshalb richtig, weil sie mit einer Zeile (der dritten) der Generatormatrix $\mathbf{G}_2$ übereinstimmt.
- Die dritte Spalte des 2D–Codewortes müsste mit der zweiten Spalte identisch sein, da vom gleichen Codewort $(1, \, 0, \, 1)$ ausgegangen wird.
- Der angegebene Vektor $(1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1)$ kann aber schon allein deshalb nicht richtig sein, da $\mathcal{C}_2$ ebenso wie $\mathcal{C}_1$ ein systematischer Code ist.
- Auch der verkürzte $(6, \ 3, \ 3)$–Hammingcode $C_2$ ist linear, so dass die Zuordnung $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ auch ohne Rechnung angebbar ist.
(3) Rechts angegeben sind die vollständigen Codetabellen
- des Hammingcodes $(7, \ 4, \ 3)$, und
- des verkürzten Hammingcodes $(6, \ 3, \ 3)$.
Man erkennt daraus (ohne dass das für diese Aufgabe von Interesse ist), dass die hier betrachteten Codes jeweils die Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ aufweisen.
Die linke Grafik zeigt das Ergebnis der gesamten Codierung. Unten rechts erkennt man die Checks–on–Checks–Matrix der Dimension $3 × 3$.
Bezüglich der Teilaufgabe (3) sind die Lösungsvorschläge 1 und 2 richtig:
- Es ist Zufall, dass hier in der Checks–on–Checks–Matrix zwei Zeilen und zwei Spalten identisch sind.
- Es ist egal, ob man die Zeilen 4 bis 6 der Gesamtmatrix über den Code $\mathcal{C}_1$ gewinnt oder die Spalten 5 bis 7 über den Code $\mathcal{C}_2$.