Lineare Nyquistentzerrung

1. Digitalsignalübertragung
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Lineare Nyquistentzerrung

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Struktur des optimalen Nyquistentzerrers

In diesem Abschnitt gehen wir von folgendem Blockschaltbild eines Binärsystems aus.  Hierzu ist anzumerken:

Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers

• Die  "Diracquelle"  liefert die zu übertragende Nachricht in binärer bipolarer Form   ⇒   Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu \in \{ -1, \hspace{0.05cm}+1\}$.  Die Quelle wird als redundanzfrei vorausgesetzt.
  

• Die  "Sendeimpulsform"  $g_s(t)$  wird durch den Senderfrequenzgang  $H_{\rm S}(f)$  berücksichtigt.  Bei allen Beispielen ist  $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$  zugrunde gelegt   ⇒   NRZ–Rechteck–Sendeimpulse.
  

• Bei manchen Herleitungen werden Sender und Kanal durch den  "gemeinsamen Frequenzgang"  $H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$  zusammengefasst.
  

• Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  setzt sich multiplikativ aus dem  Matched–Filter  $H_{\rm MF}(f) = H_{\rm SK}^\star(f)$  und dem  Transversalfilter  $H_{\rm TF}(f)$ zusammen,  zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.

• Der Gesamtfrequenzgang zwischen Diracquelle und Schwellenwertentscheider soll die  "erste Nyquistbedingung"  erfüllen.  Es muss also gelten:

$$H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = H_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.05cm}.$$

• Mit dieser Bedingung gibt es keine Impulsinterferenzen und man erhält die maximale Augenöffnung.  Deshalb gelten für das  "Detektions–SNR"  und den  "Systemwirkungsgrad"  bei binärer Signalisierung:

$$\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}} = \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0} = \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf,  das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  so zu bestimmen,  dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:

$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ T} =T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Definition:}$  Wir bezeichnen die hier beschriebene Konfiguration als  Optimale Nyquistentzerrung  $\rm (ONE)$.

Obwohl diese auch – und besonders effektiv – bei Mehrstufensystemen anwendbar ist,  setzen wir zunächst  $M = 2$.

Wirkungsweise des Transversalfilters

Transversalfilter (zweiter Ordnung) als Teil des optimalen Nyquistentzerrers

Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters

$$H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T)$$

mit folgenden Eigenschaften:

• $N$  gibt die  "Ordnung"  des Filters an   ⇒   die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung  $(N=2)$.

• Für die Filterkoeffizienten gilt  $k_{-\lambda} = k_{\lambda}$   ⇒   symmetrische Struktur   ⇒   $H_{\rm TF}(f)$ ist reell.

• $H_{\rm TF}(f)$  ist somit durch die Koeffizienten  $k_0$, ... , $k_N$  vollständig bestimmt.

Für den Eingangsimpuls  $g_m(t)$  setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser

• symmetrisch um  $t=0$  ist  $($Ausgang des Matched–Filters$)$,
  

• zu den Zeiten  $\nu \cdot T$  und  $-\nu \cdot T$  jeweils den Wert  $g_m(\nu)$ besitzt.
  

Damit lauten die Eingangsimpulswerte:

$$\text{...}\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace {0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm} \text{...}\hspace{0.05cm}.$$

Für den Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten  $\nu \cdot T$  mit den Abkürzungen  $g_0 =g_d(t= 0)$,   $g_1 =g_d(t= \pm T)$,   $g_2 =g_d(t= \pm 2T)$  folgende Werte:

$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.9cm}g_0 = k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2 \cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm}$$

$$t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.45cm}g_1 = k_0 \cdot g_m(1) + k_1 \cdot \big [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3) \big ],$$

$$t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot g_m(2) + k_1 \cdot \big [g_m(1)+g_m(3)\big ]+ k_2 \cdot \big [g_m(2)+g_m(4)\big ] \hspace{0.05cm}.$$

Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten  $k_0$,  $k_1$  und  $k_2$  so bestimmen,  dass der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  folgende Stützstellen aufweist:

$$\text{...}\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} \text{...}$$

$\text{Beispiel 1:}$  Wir gehen von dem symmetrischen Eingangssignal entsprechend dem oberen Diagramm in der Grafik aus.  Mit der Abkürzung  $g_m(\nu)= g_m(\pm \nu \cdot T)$  gibt es folgende Abtastwerte im Abstand der Symboldauer  $T$:

$$g_m(t) = {\rm e}^{ - \sqrt{2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert /T} }\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} g_m(0) = 1 ,\hspace{0.35cm}g_m(1)= 0.243,\hspace{0.35cm}g_m(2)= 0.135,\hspace{0.35cm}g_m(3)= 0.086, \hspace{0.35cm}g_m(4)= 0.059 \hspace{0.05cm}.$$

⇒   Für den Ausgangsimpuls soll  $g_d(t =0) = 1$  und  $g_d(t =\pm T) = 0$  gelten.  Hierzu eignet sich ein Laufzeitfilter erster Ordnung mit den Koeffizienten  $k_0$  und  $k_1$,  die folgende Bedingungen erfüllen müssen:

Eingangs- und Ausgangsimpuls des optimalen Nyquistentzerrers

$$t = \pm T\hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot \big [1.000 +0.135 \big ] = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{k_1} = -0.214 \cdot {k_0}\hspace{0.05cm},$$

$$t = 0 \hspace{-0.1cm} : \hspace{0.6cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243= 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}0.896 \cdot {k_0} = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus erhält man die optimalen Filterkoeffizienten  $k_0 = 1.116$  und  $k_1 = 0.239$.

• Das mittlere Diagramm zeigt, dass damit der erste Vorläufer und der erste Nachläufer kompensiert werden können und zugleich  $g_d(0) =1$  gilt  (gelbe Hinterlegung).

• Die weiteren Detektionsgrundimpulswerte  (blaue Kreise)  sind aber von Null verschieden und bewirken Impulsinterferenzen.
  

⇒   Das untere Diagramm zeigt,  dass mit einem Filter zweiter Ordnung  $(N = 2)$  Nulldurchgänge bei  $\pm T$  und bei  $\pm 2T$  erzwungen werden,  wenn die Koeffizienten  $k_0 = 1.127$,  $k_1 = 0.219$  und  $k_2 = 0.075$  geeignet gewählt sind.  Das Gleichungssystem zur Bestimmung der optimalen Koeffizienten lautet dabei:

$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.85cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243 + k_2 \cdot 2 \cdot 0.135 = 1\hspace{0.05cm},$$

$$t= \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.45cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot \big [1.000+0.135 \big ]+ k_2 \cdot \big [0.243+0.086 \big ] = 0\hspace{0.05cm},$$

$$t = \pm 2 T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot 0.135 + k_1 \cdot \big [0.243+0.086\big ]+ k_2 \cdot \big [1.000 + 0.059 \big ]= 0 \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$  Die Ergebnisse können wie folgt verallgemeinert werden:

1. Mit einem Laufzeitfilter  $N$–ter Ordnung kann der Hauptwert zu  $g_d(0)=1$  (normiert)  gemacht werden
2. Außerdem können die ersten $N$  Nachläufer  $g_{\nu}$  und die ersten $N$  Vorläufer  $g_{-\nu}$  zu Null gemacht werden.
   
3. Weitere Vor– und Nachläufer  $(\nu \gt N)$  lassen sich so nicht kompensieren.
4. Es ist sogar möglich,  dass die Vor– und Nachläufer außerhalb des Kompensationsbereichs vergrößert werden oder sogar neu entstehen.
   
5. Im Grenzübergang  $N \to \infty$  (in der Praxis heißt das:   ein Filter mit sehr vielen Koeffizienten)  ist eine vollständige Nyquistentzerrung und damit eine impulsinterferenzfreie Übertragung möglich.

Beschreibung im Frequenzbereich

Die Tatsache,  dass sich der optimale Nyquistentzerrer multiplikativ aus

• dem Matched–Filter  $H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^\star (f)\cdot H_{\rm K}^\star(f)$  – also angepasst an den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t)$  – und
  
• einem Transversalfilter  $H_{\rm MF}(f)$  mit unendlich vielen Filterkoeffizienten
  
  

zusammensetzt,  folgt aus dem ersten Nyquistkriterium.  Durch Anwendung der  "Variationsrechnung"  erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters – siehe [ST85]:

(Betrags–) Frequenzgang des Transversalfilter (links) und des gesamten optimalen Nyquistentzerrers (rechts)

$$H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - \frac{\kappa}{T}) |^2},$$ $$\text{wobei }H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm K}(f).$$

Die linke Grafik zeigt  $20 \cdot \lg \ H_{\rm TF}(f)$  im Bereich  $| f | \le 1/T$.  Vorausgesetzt sind rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse und ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$.

Man erkennt aus obiger Gleichung und Grafik:

• $H_{\rm TF}(f)$  ist reell   ⇒   symmetrische Transversalfilterstruktur   ⇒   $k_{-\lambda} =k_{+\lambda}$.
  

• $H_{\rm TF}(f)$  ist gleichzeitig eine mit der Frequenz  $1/T$  periodische Funktion   ⇒  Koeffizienten des Filters ergeben sich aus der  "Fourierreihe"  (angewandt auf die Spektralfunktion):

$$k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)} {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f$$

$$\hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) = \sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.$$

In der rechten Grafik ist der Frequenzgang   $20 \cdot \lg \ |H_{\rm E}(f)|$   des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched–Filter dargestellt.  Es gilt:

$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = \frac{H_{\rm SK}^{\star}(f)}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}.$$

Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:

• Für  $a_\star = 0 \ \rm dB$  (idealer Kanal,  grüne Null–Linie)  kann auf das Transversalfilter  $H_{\rm TF}(f)$  verzichtet werden und es gilt für NRZ–Rechteckimpulse,  wie bereits im Abschnitt  "Optimaler Binärempfänger – Realisierung mit Matched-Filter"  hergeleitet:

$$H_{\rm E}(f) =H_{\rm S}(f) = {\rm si} (\pi f T).$$

• Während der Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  bei  $a_\star \ne 0 \ \rm dB$  symmetrisch zur Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$  ist,  ist diese Symmetrie beim Empfangsfilter–Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  nicht mehr gegeben.
  

• Die Maxima der Frequenzgänge  $H_{\rm TF}(f)$  und  $|H_{\rm E}(f)|$  hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  ab.  Aus dem blauen bzw. roten Funktionsverlauf kann abgelesen werden:

$$a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ |H_{\rm E}(f)| \ \big] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$

$$a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big] \approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ |H_{\rm E}(f)|\ \big] \approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Approximation des optimalen Nyquistentzerrers

Wir betrachten nun den Gesamtfrequenzgang zwischen Diracquelle und Entscheider:

• Dieser setzt sich multiplikativ aus den Frequenzgängen von Sender, Kanal und Empfänger zusammen.

• Entsprechend der Herleitung muss der Gesamtfrequenzgang die Nyquistbedingung erfüllen:

Optimaler Nyquistfrequenzgang  (Übertragungssystem mit Koaxialkabel)

$$H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = \frac{|H_{\rm SK}(f)|^2}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt folgende Eigenschaften des  optimalen Nyquistentzerrers  $\rm (ONE)$:

• Ist die Kabeldämpfung hinreichend groß  $(a_\star \ge 10 \ \rm dB)$,  so kann man den Gesamtfrequenzgang mit guter Näherung durch den  "Cosinus–Rolloff–Tiefpass"  beschreiben.
  

• Je größer  $a_\star$  ist,  desto kleiner ist der Rolloff–Faktor  $r$  und um so steiler verläuft der Flankenabfall.  Für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  (blaue Kurve)  ergibt sich  $r \approx 0.4$,  für  $a_\star = 80 \ \rm dB$  (rote Kurve)  $r \approx 0.18$.
  

• Oberhalb der Frequenz  $f_{\rm Nyq} \cdot (1 + r)$  besitzt  $H_{\rm Nyq}(f)$  keine Anteile.  Bei idealem Kanal   ⇒    $a_\star = 0 \ \rm dB$  (grüne Kurve)  reicht  $H_{\rm Nyq}(f)= {\rm si}^2(\pi f T)$  allerdings theoretisch bis ins Unendliche.

⇒   Das interaktive HTML5/JavaScript–Applet  "Frequenzgang und Impulsantwort"  verdeutlicht unter anderem die Eigenschaften des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses.

Berechnung der normierten Störleistung

Wir betrachten nun noch die (normierte) Störleistung am Entscheider.  Für diese gilt:

$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ (2T)} =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f .$$

Zur Berechnung der normierten Störleistung beim optimalen Nyquistentzerrer  $\rm (ONE)$

• Das linke Diagramm der Grafik zeigt  $|H_{\rm E}(f)|^2$  im linearen Maßstab für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$. Beachten Sie, dass  $|H_{\rm E}(f = 0)|^2 = 1$  ist.

• Da die Frequenz in dieser Darstellung auf  $1/T$  normiert wurde,  entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve.  Die numerische Auswertung ergibt:

$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx 72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

• Es kann gezeigt werden,  dass die normierte Störleistung allein mit dem Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  berechnet werden kann,  wie in der rechten Grafik dargestellt:

$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.3cm}(= k_0)\hspace{0.05cm}.$$

• Die roten Flächen sind in beiden Bildern exakt gleich.

$\text{Fazit:}$  Die normierten Störleistung des optimalen Nyquistentzerrers ist gleich dem Fourierkoeffizienten  $k_0$, wenn man den reellen, symmetrischen und periodischen Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  als Fourierreihe darstellt.

Koeffizienten des optimalen Nyquistentzerrers  $\rm (ONE)$

• In der zweiten Spalte der Tabelle ist  $10 \cdot \lg \ (k_0)$  abhängig von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  eines Koaxialkabels angegeben.

• Aufgrund der gewählten Normierung gilt die Tabelle auch für  "redundanzfreie Mehrstufensysteme";  hierbei bezeichnet  $M$  die Stufenzahl.
  

• Die Koeffizienten  $k_1$,  $k_2$,  $k_3$, ... des Transversalfilters weisen für  $a_\star \ne 0 \ \rm dB$  alternierende Vorzeichen auf.

• Für  $a_\star = 40 \ \rm dB$  sind vier Koeffizienten betragsmäßig größer als  $k_0/10$,  für  $a_\star = 80 \ \rm dB$  sogar sieben.

Vergleich anhand des Systemwirkungsgrades

Für einen Systemvergleich eignet sich der  "Systemwirkungsgrad",  der das erreichbare Detektions–SNR  $\rho_d$  in Bezug zum maximalen SNR  $\rho_{d, \ {\rm max}}$  setzt,  das allerdings nur bei idealem Kanal  $H_{\rm K}(f) \equiv 1$  erreichbar ist.

Vergleich binärer und mehrstufiger Ünertragungssysteme gemäß  $\text{GTP}$  bzw.  $\text{ONE}$

Für den Systemwirkungsgrad gilt bei  $M$–stufiger Übertragung und optimaler Nyquistentzerrung:

$$\eta = \frac{\rho_d}{s_0^2 \cdot T / N_0}=\frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}M}{(M-1)^2 \cdot k_0}.$$

• Die (normierte) Störleistung  $k_0$  kann aus der   Tabelle  auf der letzten Seite abgelesen werden.

• Beachten Sie die Normierung der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  in der ersten Spalte.

• Die Tabelle aus  [ST85]  ermöglicht einen Systemvergleich für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$.

Verglichen werden:

• der  "gaußförmige Gesamtfrequenzgang"  $\text{(GTP)}$,  der auch bei Optimierung zu einem impulsinterferenzbehafteten System führt,
  

• der  "optimale Nyquistentzerrer"  $\text{(ONE)}$,  mit dem Impulsinterferenzen per se ausgeschlossen werden.

$\text{Fazit:}$  Die Ergebnisse dieses Systemvergleichs können wie folgt zusammengefasst werden:

1. Im binären Fall  $(M = 2)$  ist das impulsinterferenzfreie System  $\text{(ONE)}$  um etwa  $6 \ \rm dB$  besser als das impulsinterferenzbehaftete System  $\text{(GTP)}$.
   
2. Wendet man die optimale Nyquistentzerrung bei Mehrstufensystemen an, so ist gegenüber  $\text{GTP}$  ein weiterer, deutlicher Störabstandsgewinn möglich.
3. Für  $M =4$  beträgt dieser Gewinn etwa  $18.2 \ \rm dB$.
   
4. Das schmalbandige  $\text{GTP}$–System kann allerdings deutlich verbessert werden,  wenn man einen Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung verwendet. 
5. Dieser wird im nächsten Kapitel behandelt.

⇒   Wir verweisen an dieser Stelle auf das interaktive SWF–Applet "Lineare Nyquistentzerrung".

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.6: Transversalfilter des Optimalen Nyquistentzerrers

Aufgabe 3.6Z: Optimaler Nyquistentzerrer für Exponentialimpuls

Aufgabe 3.7: Nochmals Optimale Nyquistentzerrung

Aufgabe 3.7Z: Regeneratorfeldlänge