PN–Modulation

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Blockschaltbild und äquivalentes Tiefpass–Modell

Eine Möglichkeit zur Realisierung eines CDMA–Systems bietet die so genannte   PN–Modulation  $($englisch:  "Direct-Sequence Spread Spectrum"   ⇒   $\text{DS-SS)}$,  die hier anhand des Blockschaltbildes erklärt wird.  Darunter gezeichnet ist das dazugehörige Modell im äquivalenten Tiefpassbereich. 

Blockschaltbild und äquivalentes Tiefpass–Modell der PN–Modulation

In beiden Modellen ist

• der verzerrungsfreie Kanal  $($AWGN und eventuell Interferenzen durch andere Nutzer, aber keine  Impulsinterferenzen$)$  gelb hinterlegt,  und
• der  optimale Empfänger  $($Matched–Filter plus Schwellenwertentscheider$)$ grün.

Anmerkung:

Im äquivalenten Tiefpassmodell entfallen die Multiplikationen mit dem senderseitigen Trägersignal  $z(t)$  und dem empfängerseitigen Trägersignal   $z_{\rm E}(t) =2\cdot z(t)$.

$\text{Dieses System lässt sich wie folgt charakterisieren:}$

• Verzichtet man auf die Multiplikation mit dem Spreizsignal  $c(t)$  bei Sender und Empfänger, so ergibt sich ein herkömmliches  BPSK–System  mit dem Träger  $z(t)$  und AWGN–Rauschen, gekennzeichnet durch das additive Gaußsche Störsignal  $n(t)$.  Der zweite Störanteil (Interferenzen anderer Teilnehmer) entfällt:   $i(t) = 0$.
• Für das Folgende wird vorausgesetzt  $($dies ist essentiell für die PN–Modulation!$)$, dass das Quellensignal  $q(t)$  einen NRZ–rechteckförmigen Verlauf hat.  Dann lässt sich das Matched–Filter durch einen Integrator über eine Symboldauer  $T$  ersetzen   ⇒    „Integrate & Dump”.  Anschließend folgt der Schwellenwertentscheider.

Prinzip und Eigenschaften von Bandspreizverfahren

Im Folgenden betrachten wir die PN–Bandspreizung im äquivalenten Tiefpassbereich.  Hierbei steht  "PN"  für  "Pseudo–Noise".   Es gilt also das unten skizzierte Modell.

Tiefpass–Modell der PN–Modulation

• Charakteristisch für diese Modulationsart ist die Multiplikation des bipolaren und rechteckförmigen Digitalsignals  $q(t)$  mit einer pseudozufälligen  $±1$–Spreizfolge  $c(t)$:

$$s(t) = q(t) \cdot c(t) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Dauer  $T_c$  eines Spreizchips ist um den ganzzahligen Faktor  $J$  kleiner ist als die Dauer  $T$  eines Quellensymbols, so dass das Sendesignalspektrum

$$S(f) = Q(f) \star C(f)$$

etwa um diesen Faktor  $J$  breiter ist als die Spektralfunktion  $Q(f)$.

$\text{Bitte beachten Sie in diesem Zusammenhang insbesondere:}$

• In vorherigen Kapiteln war stets ein wesentliches Ziel der Modulation,  möglichst bandbreiteneffizient zu sein.
• Hier versucht man im Gegensatz dazu,  das Signal auf eine möglichst große Bandbreite zu spreizen.
• Die Bandbreitenerweiterung um  $J$  ist notwendig,  um mehreren Teilnehmern die gleichzeitige Nutzung des gleichen Frequenzbandes zu ermöglichen.
• Im Idealfall können  $2^J$  geeignete Spreizfolgen gefunden werden.  Damit ist ein CDMA–System für  $2^J$  gleichzeitige Nutzer realisierbar.

Desweiteren bieten Bandspreizverfahren noch folgende Vorteile:

• Man kann ein zusätzliches niederratiges  „DS–SS–Signal”  über ein ansonsten von FDMA–Kanälen höherer Datenrate genutztes Frequenzband übertragen,  ohne die Hauptanwendungen signifikant zu stören.  Das bandgespreizte Signal verschwindet quasi unter dem Rauschpegel dieser Signale.
• Gezielte schmalbandige Störer  („Sinusstörer”)  lassen sich mit dieser Technik gut bekämpfen.  Dieser militärische Gesichtspunkt war auch ausschlaggebend dafür,  dass Bandspreizverfahren überhaupt erfunden und weiterentwickelt wurden.
• Weiter bietet die Bandspreiztechnik allgemein,  insbesondere aber  Frequency Hopping  $($schnelle diskrete Veränderung der Trägerfrequenz über einen großen Bereich$)$  und die  Chirp–Modulation  $($kontinuierliches Verändern der Trägerfrequenz während eines Bitintervalls$)$  auch die Möglichkeit, besser über frequenzselektive Kanäle übertragen zu können.

Signalverläufe bei einem einzigen Teilnehmer

Ein Nachteil der PN–Modulation ist,  dass es bei ungünstigen Bedingungen zu Interferenzen zwischen dem betrachteten Teilnehmer und anderen Teilnehmern kommen kann.

• Dieser Fall wird im Modell durch die Störgröße  $i(t)$  berücksichtigt.
• Wir betrachten zunächst nur einen Sender,  so dass  $i(t) = 0$  zu setzen ist.

Signale der PN–Modulation im rauschfreien Fall

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt

• oben das Quellensignal  $q(t)$  – gekennzeichnet durch die blaue Hinterlegung – und das (bandgespreizte) Sendesignal  $s(t)$  als durchgehend schwarze Kurve,
• unten links das Signal  $b(t)$  nach der Bandstauchung, sowie
• unten rechts das Detektionssignal  $d(t)$  nach dem Integrator, direkt vor dem Entscheider.

Weitere Hinweise:

1.   Zeitdiskrete und normierte Signaldarstellung mit Rechtecken im Abstand der Chipdauer  $T_c$.
2.   Der Spreizfaktor ist  $J = 8$.
3.   Als Spreizfolge ist die  Walsh–Funktion Nr. 7  verwendet.
4.   Alle Bilder gelten für den rauschfreien Fall   ⇒   $n(t) = 0$.

Zu den einzelnen Signalverläufen ist zu vermerken:

• Das  $±1$–Datensignal  $q(t)$  ist durch die blaue Hinterlegung gekennzeichnet.  Nach Multiplikation mit dem Spreizsignal  $c(t)$  ergibt sich das um den Faktor  $J = 8$  höherfrequente Sendesignal  $s(t)$.
• Das Spreizsignal  $c(t)$  ist periodisch mit  $T = J · T_c$  und besitzt somit ein Linienspektrum.  Im ersten, vierten und achten Datenbit ist  $s(t)=c(t)$, zu den anderen Zeiten gilt dagegen  $s(t) = - c(t)$.
• Nach der Bandstauchung beim Empfänger,  also nach chipsynchroner Multiplikation mit  $c(t) ∈ \{±1\}$   ⇒   $c^2(t) = 1$,  ergibt sich das Signal  $b(t)$.  Im verzerrungs– und rauschfreien Fall gilt:

$$b(t) = r(t) \cdot c(t) = s(t) \cdot c(t) = \big [ q(t) \cdot c(t) \big ] \cdot c(t) = q(t) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Integration von  $b(t)$  über jeweils ein Bit ergibt ein linear ansteigendes bzw. linear abfallendes Signal  $d(t)$.  Der Treppenverlauf im rechten Bild ist allein auf die zeitdiskrete Darstellung zurückzuführen.
• Zu den äquidistanten Detektionszeitpunkten gilt im verzerrungs– und rauschfreien Fall mit den  $ν$–ten Amplitudenkoeffizienten  $a_ν$  des Quellensignals  $q(t)$:

$$ d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T}\hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t = a_\nu \in \{ +1, -1 \}\hspace{0.05cm}.$$

Signale der PN–Modulation für  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ {\rm dB}$

$\text{Beispiel 2:}$  Die beiden unteren Grafiken ändern sich gegenüber dem ersten Beispiel signifikant,  wenn man AWGN–Rauschen berücksichtigt.

Der AWGN–Parameter ist zu  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$  vorausgesetzt.  Dann ist

• das bandgestauchte Signal  $b(t)$  nicht mehr abschnittsweise konstant,  und
• das Detektionssignal  $d(t)$  nicht mehr linear ansteigend bzw. abfallend.

Nach Schwellenwertentscheidung der Abtastwerte  $d(νT)$  erhält man trotzdem meist die gesuchten Amplitudenkoeffizienten.  Die vage Angabe „meist” ist durch die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  quantifizierbar.  Wegen

$$b(t) = \big [ s(t) + n(t) \big ] \cdot c(t) = q(t) + n(t) \cdot c(t)$$

und aufgrund der Tatsache, dass die statistischen Eigenschaften von weißem Rauschen  $n(t)$  durch die Multiplikation mit dem  $±1$–Signal  $c(t)$  nicht verändert werden, erhält man unabhängig vom Spreizgrad  $J$  wieder das gleiche Ergebnis wie für die  herkömmliche BPSK  ohne Bandspreizung/Bandstauchung:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_{\rm 0} } } \hspace{0.05cm} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Zusätzlicher Sinusstörer um die Trägerfrequenz

Wir gehen weiterhin von nur einem einzigen Teilnehmer aus.  Im Unterschied zu der Berechnung im letzten Abschnitt gibt es aber nun

• neben dem AWGN–Rauschen  $n(t)$  auch
• einen schmalbandiger Störer  $i(t)$  um die Frequenz  $f_{\rm I}$  mit der Leistung $P_{\rm I}$  und der Bandbreite  $B_{\rm I}$.

Im Grenzfall  $B_{\rm I} → 0$  lautet das Leistungsdichtespektrum dieses „Sinusstörers”:

$${\it \Phi}_{\rm I}(f) = {P_{\rm I}}/{2} \cdot \big[ \delta ( f - f_{\rm I}) + \delta ( f + f_{\rm I}) \big ] \hspace{0.05cm}.$$

Bei einem herkömmlichen Übertragungssystem ohne Bandspreizung/Bandstauchung würde ein solcher Schmalbandstörer die Fehlerwahrscheinlichkeit in unzumutbarer Weise erhöhen.  Bei einem System mit Bandspreizung   ⇒   PN–Modulation ist der störende Einfluss deutlich geringer, da

• die Bandstauchung beim Empfänger hinsichtlich des Sinusstörers als Bandspreizung wirkt,
• sich dadurch dessen Leistung auf ein sehr breites Frequenzband  $B_c = 1/T_c \gg B$  verteilt,
• die zusätzlich störende Leistungsdichte im Nutzfrequenzband  $(±B)$  eher niedrig ist und durch eine geringfügige Erhöhung der AWGN–Rauschleistungsdichte  $N_0$  ausgeglichen werden kann.

Mit  $T = J · T_c$  und  $B = 1/T$  erhält man:

$$p_{\rm B} \approx {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_{\rm 0} +P_{\rm I} \cdot T_c} } \hspace{0.05cm} \right ) = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_{\rm 0} } \cdot \left( \frac{1}{1+ P_{\rm I} \cdot T_c/N_0}\right ) } \hspace{0.05cm} \right )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{SNR–Degradation:} \ \frac{1}{\big[1 + P_{\rm I}/(J · N_0 · B)\big]}\hspace{0.05cm}.$$

Je größer der Spreizfaktor  $J$  ist, desto geringer ist die Erhöhung der Rauschleistung durch den Sinusstörer.

Anmerkung:   Diese Tatsache hat dazu geführt, dass in der Literatur der Spreizfaktor  $J$  oft als Spreizgewinn bezeichnet wird, vergleiche beispielsweise [ZP85].

• In diesen Büchern geht es dabei meist um militärische Anwendungen der Bandspreizverfahren.
• Manchmal ist sogar vom „günstigsten Störer” die Rede, nämlich dann, wenn die Degradation am größten ist.
• Mit solchen Anwendungen wollen wir uns hier aber nicht befassen.

Näherungsweise kann aber die obige Gleichung der Fehlerwahrscheinlichkeit auch angewendet werden, wenn eine ungespreizte Übertragung höherer Datenrate und ein Bandspreiz–System geringer Rate im gleichen Frequenzband arbeiten.  Der störende Einfluss des erstgenannten Systems mit Bandbreite  $B_{\rm I}$  auf das  Spread Spectrum System  lässt sich näherungsweise als  Schmalbandstörer  behandeln, so lange  $B_{\rm I}$  hinreichend klein ist.

$\text{Fazit:}$ 

• Bei AWGN–Rauschen  (und auch vielen anderen Kanälen)  lässt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung nicht verringern.
• Im günstigsten Fall ergibt sich mit Bandspreizung die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK  (ohne Spreizung).
• In unserem Sinne ist Bandspreizung eine erforderliche Maßnahme,  um mehrere Teilnehmer gleichzeitig im gleichen Frequenzband versorgen zu können.
• Wir betrachten im Folgenden ausschließlich den CDMA–Aspekt und sprechen deshalb auch weiterhin vom Spreizfaktor  $J$  und nicht von einem Spreizgewinn.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.2: Bandspreizung und Schmalbandstörer

Aufgabe 5.2Z: Zur PN–Modulation