Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass

Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass

Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal $x(t) = T \cdot \delta(t)$ aus, so dass $X(f) = T$ gilt. Das Ausgangsspektrum $Y(f)$ ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:

$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$

Dieser wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):

Für $f \cdot T \ge 1$ ist $H(f) = 0$.
Im inneren Bereich gilt $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$

Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/{\Delta t}$ ist. Damit erhält man für die äquivalente ${\Delta t}$ der Impulsantwort ebenfalls $T$ und und es gilt:

$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$

Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal $y(t)$ im Gegensatz zur Impulsantwort $h(t)$ ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \left[ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right) \right)+ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right) \right)\right].$$

Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.

Für die Teilaufgabe (3) soll vorausgesetzt werden, dass das Signal $s(t)$ in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen $H_{\rm S}(f)$ und $H_{\rm S}(f)$ ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:

$$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Cosinus–Rolloff–Tiefpass.
Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet Frequenzgang und Impulsantwort überprüfen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$y(t = 0) \ = \ $

$y(t = T) \ = \ $

$y(t = T/2) \ = \ $

$y(t = 1.5 T) \ = \ $

$y(t = 10.75 T) \ = \ $

$ \ \cdot \ 10^{-6}$

$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=0.5/T) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=1/T) \ = \ $

Musterlösung

(1) Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der si–Funktion direkt $y(t = 0) = 1$ und $y(t = T) = y(t = 2T) = ... =0$. Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise $$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] {\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$ $$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

(2) Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet: $$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(\pi)+ {\rm si}(0)\right].$$

Mit si(0) = 1 und si(π) = 0 erhält man so: $$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$

In analoger Weise ergibt sich für t = 1.5T:

$$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(\pi) = 0$ berücksichtigt. Zu den Zeitpunkten $t/T = 2.5, 3.5, ... $ gilt ebenfalls $y(t) = 0$, wie die folgende Grafik zeigt.

(3) Für große Werte von $t$ gilt näherungsweise (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt):

$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T )}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi \cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$ ist. Zum Zeitpunkt $t = 10.75 T$ gilt dann:

$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32} \cdot 10^{-6}.$$

(4) Der Empfängerfrequenzgang lautet für$|f \cdot T| \le 1$ : $$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$ Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt: $$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$ $$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$ $$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden.