Aufgabe 1.5: Karten ziehen

Wunschergebnis „Drei Asse”

Aus einem Kartenspiel mit $32$ Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.

Für die Teilaufgabe (1) wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.

Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab (2) davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).

Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hier ist $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo

Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Fragebogen

$p_1 \ = \ $

$p_2 \ = \ $

$p_3 \ = \ $

$p_4 \ = \ $

$p_5 \ = \ $

Musterlösung

(1) Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ass genau gleich groß $(1/8)$:

$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$

(2) Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar. Man erhält hierfür $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse im Stapel):

$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$

Man erkennt: $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.

(3) Analog zur Teilaufgabe (2) erhält man hier:

$$p_{\rm 3} = {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$

(4) Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:

$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$

$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) = {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$

$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$

$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) = Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$

Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?

Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.

Damit erhält man für die Summe $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.

(5) Definiert man die Ereignisse $E_i :=$ „Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen” mit Index $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$,
so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System. Deshalb gilt:

$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$