Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation

1. Modulationsverfahren
2. Vielfachzugriffsverfahren
3. Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation

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Das CDMA–System IS–95

Die Eigenschaften der PN–Modulation werden nun am Beispiel des amerikanischen Mobilfunkstandards  IS–95  angegeben,  der sich aus den Arbeiten der Fa.  Qualcomm Inc.  und insbesondere von  Andrew J. Viterbi  ergeben hat.  In etwas vereinfachter Darstellung – ohne Faltungscodierer, Interleaver und De–Interleaver sowie dem Viterbi–Decoder beim Empfänger – ergibt sich das folgende Blockschaltbild.

Betrachtetes Blockschaltbild für dieses Kapitel

Es gelten folgende Aussagen:

• Das Spreizsignal  $c(t)$  bewirkt eine  "Bandspreizung"  um den Spreizfaktor  $J$, wobei auf den nächsten Seiten sowohl  Walsh–Funktionen  als auch  M–Sequenzen  betrachtet werden. 
• Die  "Bandstauchung"  beim Empfänger benutzt phasensynchron die gleiche Spreizfolge.
• Das zusätzliche  $±1$–Signal  $w(t)$  ermöglicht eine zusätzliche  "Verwürfelung",  bewirkt jedoch keine weitere Bandspreizung. 
• Die Rechteckdauer von  $w(t)$  ist genau so groß  $(T_c)$  wie die Rechteckdauer von  $c(t)$.  Man nennt  $T_c$  die  "Chipdauer".
• Ohne Bandspreizung und Verwürfelung  $($bzw. mit  $J = 1)$  entspricht die Übertragungskette der  BPSK–Modulation. 
• Das Matched–Filter ist durch die Variante  Integrate & Dump  realisiert,  so dass es sich um ein optimales System handelt.
• Mit  $H_{\rm K}(f) = 1$  ergibt sich das  AWGN–Kanalmodell  mit dem gaußverteilten Rauschsignal  $n(t)$  und der AWGN–Kenngröße  $E_{\rm B}/N_0$. 
• Die zusätzliche Störkomponente  $i(t)$  fasst die  "Interferenzen"  durch die anderen Teilnehmer zusammen.
• Bei einem  Mehrwegekanal   (ein Hauptpfad und ein oder mehrere Nebenpfade)  können die entstehenden Impulsinterferenzen durch den Einsatz eines  RAKE–Empfängers  vermindert werden.

Alle nachfolgenden Ergebnisse wurden mit dem Simulationsprogramm „CDMA” ermittelt.  Dieses wurde an der TU München im Praktikum „Simulation digitaler Übertragungssysteme” [Söd01] eingesetzt. Dieser Versuch basiert auf

• der Lehrsoftware  CDMA   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
• der zugehörigen  Praktikumsanleitung   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version.

Systemkonfigurationen für minimale Fehlerwahrscheinlichkeit

Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven beim AWGN–Kanal

Die Grafik zeigt als durchgezogene blaue Kurve die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei BPSK in Abhängigkeit des logarithmierten AWGN–Parameters  $E_{\rm B}/N_0$  (Signalenergie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte). 

Es gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Beispielsweise ergibt sich für  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$  näherungsweise die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} = \rm 2 · 10^{–4}$.

Den gleichen minimalen Wert liefert eine Systemsimulation  (rote Punkte)  unter folgenden Bedingungen:

• PN–Modulation,  egal ob mit einer M–Sequenz oder mit einer Walsh–Funktion,  bei beliebigem Spreizgrad  $J$,  falls nur ein Teilnehmer aktiv ist.
• Synchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen,  auch wenn im gleichen Frequenzband andere Nutzer  $($maximal  $J -1)$  aktiv sind.
• Auf den RAKE–Empfänger kann hier verzichtet werden,  da beim AWGN–Kanal keine Impulsinterferenzen auftreten.

Zwei Teilnehmer mit M–Sequenz–Spreizung

Wir betrachten den störenden Einfluss eines zweiten  (taktsynchronen)  Teilnehmers auf die Fehlerwahrscheinlichkeit von Teilnehmer 1.

Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Bandspreizung  $(J = 15)$  mit M–Sequenz

• Die Spreizung erfolgt mittels M–Sequenzen,  die im Gegensatz zu den Walsh–Funktionen nicht zueinander orthogonal sind.
• Der Spreizfaktor ist jeweils  $J = 15$.  Die Oktalkennungen der beiden beteiligten PN–Spreizfolgen seien  $(23)$  und  $(31)$.

Aus diesem Diagramm kann zum Beispiel abgelesen werden:

• Bei nur einem Teilnehmer ergibt sich die blaue durchgezogene Kurve.  Der zweite Teilnehmer erhöht die Fehlerwahrscheinlichkeit enorm:  Bei  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$  von  $p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$  auf  $p_{\rm B} =1.5\%$  $($braune Markierungen,  $τ = 0)$.
• Durch Phasenversatz der PN–Sequenzen gegeneinander um Vielfache der Chipdauer kann man große Verbesserungen erzielen.  Verschiebt man beispielsweise die PN–Sequenz  $(31)$  des interferierenden Teilnehmers um  $τ = 2T_c$  nach rechts (rote Markierungen), so erhält man statt  $p_{\rm B} =1.5\%$  Fehler nur mehr  $p_{\rm B} = 0.034\%$.

Die Ergebnisse werden verständlich, wenn man die periodische KKF  $φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$  zwischen den Sequenzen  $(23)$  und  $(31)$  betrachtet.

PKKF der PN–Sequenzen  $(23)$  und  $(31)$

• Je kleiner der PKKF–Betrag bei  $\tau$  ist, desto kleiner wird  $p_{\rm B}$.
• Man könnte also auch die zweite PN–Sequenz um sechs oder acht Chipdauern nach rechts oder um fünf,  sechs oder sieben Chipdauern nach links verschieben  (rote Punkte).
• In all diesen Fällen ist der PKKF–Betrag  $|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$  deutlich kleiner im Vergleich zu

1. $\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$  (ockerfarbene Punkte),
2. $\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$  (grüne Punkte), sowie
3. $\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$  (violette Punkte).

Asynchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen

Auf der Seite  Systemkonfigurationen für minimale Fehlerwahrscheinlichkeit  wurde gezeigt,  dass bei Verwendung von orthogonalen Walsh–Funktionen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  auch bei Vorhandensein anderer CDMA–Teilnehmer gegenüber der BPSK–Vergleichskurve  (System ohne Bandspreizung)  nicht verändert wird,  so lange alle Teilnehmer synchron arbeiten.

• Diese Voraussetzung ist im Mobilfunk im allgemeinen für den Downlink  (der Sender ist eine einzige Basisstation)  erfüllt,
• nicht jedoch im Uplink  (Sender sind viele mobile Endgeräte).

Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei asynchronem CDMA–Betrieb mit Walsh-Spreizfunktionen

Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven für den jeweils ungünstigsten Phasenversatz der Spreizfolgen von betrachtetem Teilnehmer und störendem Teilnehmer,  jeweils mit Spreizgrad  $J = 16$.  Der erste Teilnehmer benutze dabei stets die Walsh–Funktion Nr.  $15$.

Das Ergebnis kann wie folgt zusammengefasst werden:

• Benutzt der zweite Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr.  $1$,  so macht sich ein Phasenversatz nicht negativ bemerkbar,  da für alle  $λ$–Werte die PKKF  $φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$  ist.
• Verwendet dagegen der zweite Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr.  $14$  $($oder jede andere mit der Kenn-Nummer größer/gleich  $8)$,  so ergibt sich durch einen Phasenversatz um eine Chipdauer eine enorme Verschlechterung.
• Es gilt zwar  $φ_\text{14, 15}(0) = 0$,  aber für  $λ = 1$  hat diese PKKF mit  $φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$  einen sehr großen Wert.

Bitfehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal

Für den Rest dieses Kapitels  „Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation”  setzen wir voraus:

• Zur Bandspreizung werden Walsh–Funktionen verwendet.  Der Spreizfaktor ist jeweils  $J = 16$.  Insbesondere betrachten wir die Funktionen:

$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$

$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$

$$ \langle w_\nu^{(12)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$

• Aktiv ist jeweils nur ein Teilnehmer   ⇒   Interferenzen durch andere Nutzer treten somit nicht auf.
• Der Kanal enthält neben dem AWGN–Rauschen noch eine Mehrwegekomponente:   Der Hauptpfad wird um den Faktor  $0.8$  gedämpft.
• Daneben gibt es ein Echo im Abstand  $2T_c$  mit dem Gewicht  $0.6$.  Die Kanalimpulsantwort lautet in diesem Fall:

CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal

$$h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) + 0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$$

Die Grafik zeigt Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven.  Diese zeigen folgende Sachverhalte:

• Die Walsh–Funktion Nr.  $2$  (braune Punkte)  ist für den oben definierten Zweiwegekanalanal ungeeignet,  da sich hier das bandgespreizte Signal  $b(t)$  aufgrund des Echos im Abstand  $2T_c$  nahezu auslöscht.  Dies erkennt man auch am PAKF–Wert  $φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.
• Die Walsh–Funktion Nr.  $1$  (gelbe Punkte)  ist bei diesem Kanal sehr gut geeignet.  Das Echosignal überlagert sich dem Signal auf dem Hauptpfad konstruktiv und  $b(t)$  wird nahezu verdoppelt.  Das gute Ergebnis ist mit dem PAKF–Wert  $φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$  erklärbar.
• Für die Walsh–Funktion Nr.  $12$  (rote Punkte)  gleichen sich die konstruktiven und destruktiven Überlagerungen nahezu aus,  so dass die Fehlerwahrscheinlichkeit in etwa auf der BPSK–Kurve liegt.  Auch alle anderen Walsh–Funktionen liegen zwischen den braunen und gelben Grenzkurven.

$\text{Fazit:}$ 

• Der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr.  $1$  hat beim betrachteteten Kanal mit der Echoverzögerung  $2 \cdot T_c$  deutlich bessere Bedingungen als der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr.  $2$.
• Bei einem Kanal mit der Echoverzögerung  $T_c$  hätte dagegen der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr.  $2$  deutlich bessere Bedingungen als der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr.  $1$.
• Da aber ein Netzbetreiber für alle Teilnehmer bei beliebigem Kanal gleiche Bedingungen bereitstellen muss, ist die hier betrachtete Konfiguration für den praktischen Betrieb ungeeignet.
• Nachfolgend wird gezeigt, wie man für alle Teilnehmer annähernd gleiche Bedingungen schaffen kann.

Einfluss einer zusätzlichen Verwürfelung der Spreizfolge

CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal,
zusätzliche Verwürfelung

Eine Möglichkeit,  die Qualität für die einzelnen Teilnehmer auch beim Zweiwegekanal zu egalisieren,  bietet die zusätzliche Verwürfelung mit  $w(t)$  entsprechend dem vorne gezeigten  Blockschaltbild.  Für die rechts dargestellte Grafik wird vorausgesetzt:

• Die beteiligten Benutzer verwenden zur Bandspreizung unterschiedliche Walsh–Funktionen,  alle mit dem Spreizfaktor  $J = 16$.
• Jeder Benutzer wird zusätzlich durch eine M–Sequenz der Periodenlänge  $P = 63$  $($Registergrad  $G = 6)$  verwürfelt.
• Die eingezeichneten Punkte gelten für die Walsh–Funktion Nr.  $12$  als Spreizsignal  $c(t)$  und die Verwürfelung  $w(t)$  durch die M–Sequenz mit der Oktalkennung  $(163)$.

Gegenüber dem reinen AWGN–Kanal ergibt sich beim betrachteten Zweiwegekanal mit den Koeffizienten  $0.8$  und  $0.6$  eine Degradation von etwa  $2 \ \rm dB$ bis $3 \ \rm dB$   ⇒   horizontaler Abstand zwischen den eingezeichneten Punkten und der blauen Vergleichskurve.

Anmerkung:   Die Ergebnisse für andere Walsh–Funktionen,  zum Beispiel Nr.  $1$  oder Nr.  $2$  unterscheiden sich gegenüber dieser Skizze  $($gültig für die Walsh–Funktion Nr.  $12)$  innerhalb der Zeichengenauigkeit nur unwesentlich.

$\text{Fazit:}$ 

• Die zusätzliche Verwürfelung mit  $w(t)$  dient nur dazu,  bei einem Kanal mit Echoverzerrungen für alle Teilnehmer gleiche Bedingungen zu schaffen.
• $w(t)$  bewirkt also keine zusätzliche Bandspreizung.  Alle Teilnehmer erleben somit durch ein Echo die gleiche Degradation, verglichen mit dem idealen Kanal. 
• Andernfalls  (ohne diese Verwürfelung)  würden sich die Kunden mit schlechten Bedingungen beim Betreiber beschweren und eventuell Regressansprüche stellen, während die anderen Kunden die für sie günstige konstruktive Echo–Überlagerung vielleicht erfreut, aber sicher stillschweigend hinnehmen würden.

Untersuchungen zum RAKE–Empfänger

Betrachten wir abschließend die Verbesserung durch die Verwendung eines RAKE–Empfängers,  die durch die folgende Grafik verdeutlicht wird.  Damit wird beispielsweise für  $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$  die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von  $\rm 6 · 10^{–3}$  auf  $\rm 5 · 10^{-4}$  herabgesetzt.

CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeitskurven mit und ohne RAKE–Empfänger

Anzumerken ist, dass für dieses Diagramm die genau gleichen Voraussetzungen gelten wie für die  Grafik im letzten Abschnitt:

• Bandspreizung mit  $J =16$  und Walsh–Funktion Nr.  $12$,
• zusätzliche Verwürfelung durch die M–Sequenz  $\rm (163)_{oktal}$,
• Zweiwegekanal mit  $h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$.

Der Grund für diese Verbesserung ist die kleinere Varianz  ${σ_d}^2$  der Detektionsnutzabtastwerte, wie aus den rechts skizzierten WDF  $f_d(d)$  hervorgeht  $($gültig für  $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB)$.  Hierbei setzt sich  ${σ_d}^2 = {σ_{\rm I}}^2 + {σ_{\rm N}}^2$  aus zwei Anteilen zusammen:

• Der Anteil  ${σ_{\rm N}}^2$  des AWGN–Rauschens  $n(t)$  an der gesamten Varianz  ${σ_d}^2$  hängt allein von der Abszisse  $(E_{\rm B}/N_0)$  ab und ist mit und ohne RAKE gleich groß.
• Das kleinere  $σ_d^2$  mit RAKE ist allein darauf zurückzuführen, dass der RAKE–Empfänger die Impulsinterferenzen bekämpft. 
• Dadurch ist  ${σ_{\rm I}}^2$  beim (roten) RAKE–Empfänger zwar nicht Null,  aber deutlich kleiner als beim (schwarzen) Empfänger ohne RAKE.

Prinzip des RAKE–Empfängers

Zweiwegekanal und zugehöriger RAKE–Empfänger

Das RAKE–Prinzip wird durch die Skizze verdeutlicht.  Der Zweiwegekanal besteht aus

• dem direkten Pfad mit Verzögerungszeit  $τ_0$  und Gewicht  $h_0$,
• einem Echo mit Verzögerung  $τ_1 > τ_0$  und Gewicht  $h_1$.

Beide Amplitudenkoeffizienten seien reell.  Als Normierungsbedingung gelte im Folgenden:

$${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1.$$

Aufgabe des RAKE–Empfängers ist es,  die Signalenergien der beiden Pfade  (im allgemeinen:   aller Pfade)  auf einen einzigen Zeitpunkt zu konzentrieren.  Er arbeitet demnach wie eine  „Harke”  für den Garten,  was auch die deutsche Übersetzung für „RAKE” ist.

Legt man einen Diracimpuls zur Zeit  $t = 0$  an den Kanaleingang an   ⇒   $s(t) = δ(t)$,  so gibt es am Ausgang des RAKE–Empfängers drei Diracimpulse:

$$b(t) = \big [ h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [(h_0^2 + h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) \big ]+ \big [h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \big ] \hspace{0.05cm}.$$

• Die Signalenergie konzentriert sich im Ausgangssignal auf den Zeitpunkt  $τ_0 + τ_1$.  Von den insgesamt vier Wegen tragen zwei dazu bei.
• Die Diracfunktionen bei  $2τ_0$  und  $2τ_1$  bewirken durchaus Impulsinterferenzen.
• Ihre Gewichte  $(h_0 · h_1)$  sind aber deutlich kleiner als das Gewicht des Hauptpfades  $({h_0}^2 + {h_1}^2)$.

$\text{Beispiel 1:}$ 

• Mit den Parameterwerten  $h_0 = 0.8$  und  $h_1 = 0.6$  beinhaltet der Hauptpfad  $($mit Gewicht  $h_0)$  nur  $\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$  der gesamten Signalenergie.
• Mit RAKE–Empfänger und den gleichen Gewichten lautet die obige Gleichung

$$b(t) = \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1)\big ] + \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1)\big ] \hspace{0.05cm}.$$

• Der Anteil des Hauptpfades an der Gesamtenergie beträgt nun  $\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$,  ist also etwas größer als ohne RAKE.

$\text{Fazit:}$ 

• RAKE–Empfänger werden zur Implementierung in mobilen Geräten bevorzugt,  haben aber bei vielen aktiven Teilnehmern nur eine begrenzte Leistungsfähigkeit.
• Bei einem Mehrwegekanal mit vielen  $(M)$  Pfaden dat auch der RAKE  $M$  Finger.
• Der Hauptfinger  ("Main Finger")  – auch "Searcher" genannt – ist bei den meisten Mobilfunksystemen dafür verantwortlich,  die individuellen Pfade der Mehrfachausbreitung zu identifizieren und einzuordnen.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.5: Mehrteilnehmer–Interferenzen

Aufgabe 5.5Z: Zum RAKE–Empfänger