Aufgabe 5.8Z: Zyklisches Präfix und Guard–Intervall
Wir gehen in dieser Aufgabe von einem $\rm OFDM$–System mit $N = 8$ Trägern und zyklischem Präfix aus. Der Subträgerabstand sei $f_0 = 4 \ \rm kHz$ ⇒ Grundsymboldauer: $T=1/f_0$. Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.
- Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind. Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit $τ_1 = \ \rm 50\ µs$ und $τ_2 = 125\ \rm µs$:
- $$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$
- Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz $($Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite$)$ um den Faktor
- $$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}, $$
- und führt auch zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert β.
- Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR–Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten $g_{\rm S}(t)$ und $g_{\rm E}(t)$ von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer $T$ angepasst sind $($Matched–Filter–Ansatz$)$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Realisierung von OFDM-Systemen".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten "Zyklisches Präfix" sowie "OFDM-System mit zyklischem Präfix".
Fragebogen
Musterlösung
- $$ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm µ s}}.$$
(2) Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer $T_{\rm G}$ des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Kanalverzögerung $($hier: $τ_2 = 125\ \rm µ s)$:
- $$ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm µ s}}.$$
(3) Für die Rahmendauer gilt somit:
- $$ T_{\rm{R}} = T + T_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 375\,\,{\rm µ s}}.$$
(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen $\rm (ISI)$ vermieden werden.
- Die Lückendauer $T_{\rm G}$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
- Im vorliegenden Beispiel muss $T_{\rm G}≥ 125\ \rm µ s$ sein.
(5) Beide Lösungsvorschläge sind zutreffend:
- Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen $\rm (ICI)$ unterdrückt.
- Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Grundsymboldauer $T$ eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt,
auch wenn andere Träger aktiv sind.
(6) Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Grundsymbols ist gleich der Anzahl der Träger ⇒ $\underline{N=8}$.
- Wegen $T_{\rm G}= T/2$ gilt $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$
- und damit $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$.
(7) Die Belegung des ersten Trägers $($Frequenz $f_0)$ mit dem Koeffizienten „–1” führt zu den Abtastwerten
- $$d_0 = -1, \hspace{0.3cm}d_1 = -0.707 - {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_2 = -{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_3 = +0.707 -{\rm j} \cdot 0.707, $$
- $$d_4 = +1, \hspace{0.3cm}d_5 = +0.707 + {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_6 = +{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_7 = -0.707 +{\rm j} \cdot 0.707. $$
- Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte $d_{-1} = d_7$, $d_{-2} = d_6$, $d_{-3} = d_5$ und $d_{-4} = d_4$:
- $$\underline{{\rm Re}[d_{-1}] = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-1}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-2}] = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}[d_{-2}] = 1},$$
- $$\underline{{\rm Re}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-4}] = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}] = 0}.$$
(8) Entsprechend der angegebenen Gleichung ist die Bandbreiteneffizienz gleich
- $$\beta = \frac{1}{1 + {T_{\rm{G}}}/{T}} = \frac{1}{1 + ({125\,\,{\rm \mu s}})/({250\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.667}.$$
(9) Diese Bandbreiteneffizienz $β = 2/3$ führt zu einem SNR–Verlust von
- $$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$
