Matched-Filter

Inhaltsverzeichnis

1 Optimierungskriterium des Matched–Filters
2 Matched-Filter-Optimierung
3 Interpretation des Matched-Filters
4 Verallgemeinertes Matched-Filter für den Fall farbiger Störungen
5 Aufgaben zum Kapitel

Optimierungskriterium des Matched–Filters

$\text{Definition:}$ Das Matched-Filter – auch "Korrelationsfilter"' genannt – dient zum Nachweis der Signalexistenz.

Blockschaltbild des Matched-Filter-Empfängers

Der Matched-Filter-Empfänger kann mit größtmöglicher Sicherheit – anders ausgedrückt: mit maximalem SNR – entscheiden, ob ein durch additives Rauschen $n(t)$ gestörtes impulsförmiges Nutzsignal $g(t)$ vorhanden ist oder nicht.

Zur Herleitung des Matched-Filter-Empfängers wird die skizzierte Anordnung betrachtet.

Für die einzelnen Komponenten gelten folgende Voraussetzungen:

Der Nutzanteil $g(t)$ des Empfangssignals $r(t)=g(t)+n(t)$ sei impulsförmig und somit "energiebegrenzt".
Das heißt: Das Integral über $\big [g(t)\big ]^2$ von $–∞$ bis $+∞$ liefert den endlichen Wert $E_g$.
Das Störsignal $n(t)$ sei "Weißes Gaußsches Rauschen" mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0$.
Das Filterausgangssignal $d(t)$ setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Der Anteil $d_{\rm S}(t)$ geht auf das "$\rm S$"ignal $g(t)$ zurück, der Anteil $d_{\rm N}(t)$ auf das "$\rm N$"oise $n(t)$.
Der Empfänger, bestehend aus einem linearen Filter ⇒ Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ und dem Entscheider, ist so zu dimensionieren, dass das momentane S/N-Verhältnis am Ausgang maximal wird:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {d_{\rm S} ^2 ( {T_{\rm D} } )} }{ {\sigma _d ^2 } }\mathop = \limits^{\rm{!} }\hspace{0.1cm} {\rm{Maximum} }.$$

Hierbei bezeichnen $σ_d^2$ die Varianz ("Leistung") von $d_{\rm N}(t)$ und $T_{\rm D}$ den (geeignet gewählten) "Detektionszeitpunkt".

Matched-Filter-Optimierung

Gegeben sei ein energiebegrenztes Nutzsignal $g(t)$ mit dem zugehörigen Spektrum $G(f)$.

Damit kann das Filterausgangssignal zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$ für jedes beliebige Filter mit der Impulsantwort $h(t)$ und dem Frequenzgang $H(f) =\mathcal{ F}\{h(t)\}$ wie folgt geschrieben werden $($ohne Berücksichtigung des Rauschens ⇒ Index $\rm S$ für „Signal”$)$:

$$d_{\rm S} ( {T_{\rm D} } ) = g(t) * h(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e}}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f} .$$

Der „Rauschanteil” $d_{\rm N}(t)$ des Filterausgangssignals $($Index $\rm N$ für „Noise”$)$ rührt allein vom Weißen Rauschen $n(t)$ am Eingang des Empfängers her. Für seine Varianz (Leistung) gilt unabhängig vom Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$:

$$\sigma _d ^2 = \frac{ {N_0 } }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$

Damit lautet das hier vorliegende Optimierungsproblem:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right|^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } \stackrel{!}{=} {\rm{Maximum} }.$$

$\text{Hier zunächst ohne Beweis:}$ Man kann zeigen, dass dieser Quotient für den folgenden Frequenzgang $H(f)$ am größten wird:

$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } . $$

Damit erhält man für das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Matched–Filter–Ausgang $($unabhängig von der dimensionsbehafteten Konstante $K_{\rm MF})$:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } }.$$

$E_g$ bezeichnet die Energie des Eingangsimpulses, die man nach dem Satz von Parseval sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnen kann:

$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2 (t)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }t} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right\vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm d}f} .$$

$\text{Beispiel 1:}$ Ein rechteckförmiger Impuls $g(t)$ mit Amplitude $\rm 1\hspace{0.05cm}V$, Dauer $0.5\hspace{0.05cm} \rm ms$ und unbekannter Lage soll in einer verrauschten Umgebung aufgefunden werden.

Somit ist die Impulsenergie $E_g = \rm 5 · 10^{–4} \hspace{0.05cm}V^2s$.
Die Rauschleistungsdichte sei $N_0 = \rm 10^{–6} \hspace{0.05cm}V^2/Hz$.

Das beste Ergebnis ⇒ das maximale S/N–Verhältnis erzielt man mit dem Matched-Filter:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } = \frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}.$$

Dieses Matched–Filter–Kriterium wird nun schrittweise hergeleitet. Wenn Sie daran nicht interessiert sind, dann springen Sie zur Seite "Interpretation des Matched–Filters".

$\text{Herleitung des Matched–Filter–Kriteriums:}$

$(1)$ Die Schwarzsche Ungleichung lautet mit den beiden (im allgemeinen komplexen) Funktionen $A(f)$ und $B(f)$:

$$\left \vert {\int_a^b {A(f) \cdot B(f)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert ^2 \le \int_a^b {\left \vert {A(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} \cdot \int_a^b {\left\vert {B(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} .$$

$(2)$ Wir wenden nun diese Gleichung auf das Signal–zu–Rauschverhältnis an:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {H(f)} \right \vert^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } }.$$

$(3)$ Mit $A(f) = G(f)$ und $B(f) = H(f) · {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }$ ergibt sich somit die folgende Schranke:

$$\rho_d ( {T_{\rm D} } ) \le \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert^{\rm{2} } }\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f .$$

$(4)$ Wir setzen für den Filterfrequenzgang nun versuchsweise ein:

$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }.$$

$(5)$ Dann erhält man aus der obigen Gleichung $(2)$ folgendes Ergebnis:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert K_{\rm MF}\cdot {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right \vert ^2 } }{ {N_0 /2 \cdot K_{\rm MF} ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } = \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$

$\text{Das heißt:}$

Mit dem Ansatz $(4)$ für das Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ wird in obiger Abschätzung tatsächlich der maximal mögliche Wert erreicht.
Mit keinem anderen Filter $H(f) ≠ H_{\rm MF}(f)$ kann man ein höheres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis erzielen.
Das Matched–Filter ist in Bezug auf das ihm zugrunde gelegte Maximierungskriterium optimal.

q.e.d.

Wir verweisen auf das HTML5/JavaScript–Applet "Zur Verdeutlichung des Matched-Filters".

Interpretation des Matched-Filters

Auf der letzten Seite wurde der Frequenzgang des Matched-Filters wie folgt hergeleitet:

$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$

Durch Fourierrücktransformation erhält man die dazugehörige Impulsantwort:

$$h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$$

Diese beiden Funktionen lassen sich wie folgt interpretieren:

Das "Matched-Filter" ist durch den Term $G^{\star}(f)$ an das Spektrum des aufzufindenden Impulses $g(t)$ angepasst – daher sein Name (englisch: "to match" ≡ anpassen).
Die "Konstante" $K_{\rm MF}$ ist aus Dimensionsgründen notwendig.
Ist $g(t)$ ein Spannungsimpuls, so hat diese Konstante die Einheit „Hz/V”. Der Frequenzgang ist somit dimensionslos.
Die "Impulsantwort" $h_{\rm MF}(t)$ ergibt sich aus dem Nutzsignal $g(t)$ durch Spiegelung ⇒ aus $g(t)$ wird $g(–t)$ $ ]$ sowie einer Verschiebung um $T_{\rm D}$ nach rechts.
Der "früheste Detektionszeitpunkt" $T_{\rm D}$ folgt für realisierbare Systeme aus der Bedingung $h_{\rm MF}(t < 0)\equiv 0$ $($„Kausalität”, siehe Buch Lineare zeitinvariante Systeme$)$.
Der "Nutzanteil" $d_{\rm S} (t)$ des Filterausgangssignals ist formgleich mit der Energie-AKF $\varphi^{^{\bullet} }_{g} (t )$ und gegenüber dieser um $T_{\rm D}$ verschoben. Es gilt:

$$d_{\rm S} (t) = g(t) * h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(t) * g(T_{\rm D} - t) = K_{\rm MF} \cdot \varphi^{^{\bullet} }_{g} (t - T_{\rm D} ).$$

$\text{Bitte beachten Sie:}$ Bei einem energiebegrenzten Signal $g(t)$ kann man nur die Energie–AKF angeben:

$$\varphi^{^{\bullet} }_g (\tau ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) \cdot g(t + \tau )\,{\rm{d} }t} .$$

Gegenüber der AKF-Definition eines leistungsbegrenzten Signals $x(t)$, nämlich

$$\varphi _x (\tau ) = \mathop {\lim }_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{ {T_{\rm M} } }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {x(t) \cdot x(t + \tau )\hspace{0.1cm}\,{\rm{d} }t} ,$$

wird bei der Berechnung der Energie-AKF auf die Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ sowie auf den Grenzübergang $T_{\rm M} → ∞$ verzichtet.

$\text{Beispiel 2:}$ Wir gehen davon aus, dass der Rechteckimpuls zwischen $\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ und $\rm 2.5\hspace{0.08cm}ms$ liegt und der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ gewünscht wird.

Unter diesen Voraussetzungen gilt:

Die Matched–Filter–Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ muss im Bereich von $t_1 (= 4 - 2.5) =\rm 1.5\hspace{0.08cm}ms$ bis $t_2 (= 4 - 2) =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ konstant sein.
Für $t < t_1$ sowie für $t > t_2$ darf sie keine Anteile besitzen.
Der Betragsfrequenzgang $\vert H_{\rm MF}(f)\vert$ ist hier $\rm si$–förmig.
Die Höhe der Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ spielt für das S/N–Verhältnis keine Rolle, da dieses unabhängig von $K_{\rm MF}$ ist.

Wir verweisen nochmals auf das HTML5/JavaScript–Applet "Zur Verdeutlichung des Matched-Filters".

Verallgemeinertes Matched-Filter für den Fall farbiger Störungen

Bei den Herleitungen dieses Abschnittes wurde bisher stets von Weißem Rauschen ausgegangen. Nun soll die folgende Frage geklärt werden:
Wie ist das Empfangsfilter $H(f) = H_{\rm MF}(f)$ bei farbiger Störung $n(t)$ zu gestalten, damit das Signal zu Rauschleistungsverhältnis maximal wird?

$\text{Zur Erläuterung einiger Begrifflichkeiten:}$ Der Begriff „Störung” ist etwas allgemeiner als „Rauschen”.

Vielmehr ist Rauschen eine Teilmenge aller Störungen, zu denen zum Beispiel auch das Nebensprechen von benachbarten Leitungen zählt.
Wir sprechen nur dann von (weißem) Rauschen $n(t)$, wenn das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f)$ für alle Frequenzen gleich ist.
Ist dies nicht erfüllt, so bezeichnen wir $n(t)$ als farbige Störung.

Zum Matched-Filter bei farbiger Störung

Die obere Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Herleitung des Matched–Filters $H_{\rm MF}(f)$ bei farbiger Störung $n(t)$, gekennzeichnet durch das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f) ≠\text{ const}$. Alle weiteren bisher für diesen Abschnitt genannten Voraussetzungen gelten weiterhin.

Zum modifizierten Modell gemäß der unteren Grafik ist anzumerken:

Das farbige Störsignal $n(t)$ mit Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f)$ kann man gedanklich durch eine „weiße” Rauschquelle $n_{\rm WR}(t)$ mit konstanter (zweiseitiger) Rauschleistungsdichte $N_0/2$ und ein Formfilter mit dem Frequenzgang $H_{\rm N}(f)$ modellieren:

$${\it{\Phi} }_n \left( f \right) = { {N_{\rm 0} } }/{\rm 2} \cdot \left| {H_{\rm N} \left( f \right)} \right|^{\rm 2} .$$

Da Realisierungsaspekte hier nicht betrachtet werden, wird $H_{\rm N}(f)$ (stark vereinfachend) als reell angenommen. Der Phasengang von $H_{\rm N}(f)$ spielt für das Folgende keine Rolle.
In dieser Darstellung ist das Formfilter $H_{\rm N}(f)$ auf die rechte Seite der Störaddition verschoben. Um ein bezüglich des Nutzsignals $d_{\rm S}(t)$ äquivalentes Modell zu erhalten, wird das Formfilter im Nutzsignalzweig durch das inverse Filter $H_{\rm N}(f)^{–1}$ kompensiert.

Anhand dieses modifizierten Modells wird nun das Matched–Filter für den Fall farbiger Störungen hergeleitet. Besitzt $H_{\rm N}(f)$ keine Nullstelle, was für das Folgende vorausgesetzt werden soll, so ist diese Anordnungen mit dem obigen Blockschaltbild identisch.

An der Störadditionsstelle liegt nun weißes Rauschen $n_{\rm WR}(t)$ an. Die Herleitung der Matched–Filter–Optimierung bei weißem Rauschen lässt sich in einfacher Weise auf das aktuelle Problem anpassen, wenn man Folgendes berücksichtigt:

Anstelle des tatsächlichen Nutzsignals $g(t)$ ist das Signal $g_{\rm WR}(t)$ vor der Störaddition zu berücksichtigen.
Die dazugehörige Spektralfunktion lautet: $G_{\rm WR}(f) = G(f)/H_{\rm N}(f)$.
Anstelle von $H_{\rm MF}(f)$ ist nun der resultierende Frequenzgang ${H_{\rm MF} }' (f) = H_{\rm N}(f) · H_{\rm MF}$ rechts von der Störadditionsstelle einzusetzen.

$\text{Fazit:}$

(1) Für das Matched-Filter bei farbigen Störungen ergibt sich:

$${H_{\rm MF} }\hspace{0.01cm}' (f) = H_{\rm N} (f) \cdot H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G_{\rm WR} ^ {\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot \frac{ {G^{\star} (f)} }{ {\left\vert {H_{\rm N} (f)} \right\vert^2 } } \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$

(2) Das Signal-zu-Störleistungsverhältnis vor dem Entscheider ist somit maximal:

$$\rho _{d,\ \max } ( {T_{\rm D} } ) = \frac{1}{ {N_0 /2} }\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left\vert{G_{\rm WR} (f)} \right\vert^2 }\, {\rm{d} }f = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{\left \vert G(f) \right\vert^2 }{ {\it{\Phi _n {\rm (f)} } } } \,{\rm{d} }f.$$

(3) Der Fall „Weißes Rauschen” ist in dieser allgemeineren Gleichung für ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$ mitenthalten.

(4) Alle hier angegebenen Gleichungen führen bei farbiger Störung allerdings nur dann zu sinnvollen, auch für die Praxis verwertbaren Ergebnissen, wenn das Energiespektrum $\vert G(f)\vert ^2$ des Nutzsignals asymptotisch schneller abklingt als das Störleistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f)$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.7: Rechteck-Matched-Filter

Aufgabe 5.7Z: Matched-Filter - alles gaußisch

Aufgabe 5.8: Matched-Filter für farbige Störung

Aufgabe 5.8Z: Matched-Filter bei Rechteck-LDS