Aufgabe 4.14: AKF und KKF bei Rechtecksignalen

AKF und KKF bei Rechtecksignalen

Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$.

Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet.

Dieses ist zwischen $(2i-1)\cdot T$ und $2i \cdot T$ jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$ (im Bild rot hervorgehoben).
In den blau gezeichneten Intervallen zwischen $2i \cdot T$ und $(2i+1) \cdot T$ ist der Signalwert zweipunktverteilt $(\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.

Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:

$$s(t) = {1}/{2} \cdot \big[p(t) + z(t)\big].$$

In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen $(2i-1) \cdot T$ und $2i \cdot T$ $(i$ ganzzahlig$)$ gilt $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl $p(t)$ als auch $z(t)$ gleich Null sind.
In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ wieder mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt.

Oder anders ausgedrückt: Die Signale $z(t)$ und $s(t)$ sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, \ +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ bzw. unipolarer $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, \ 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ Signaldarstellung.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.
Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von $-7T$ bis $+7T$.

Fragebogen

$\varphi_z(\tau= 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_z(\tau= 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_z(\tau= 6T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 6T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_{ab}(\tau) + \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) \star \varphi_b(\tau)$.

$\varphi_s(\tau= 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_s(\tau= 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

$\varphi_s(\tau= 6T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

Musterlösung

(1) Der AKF-Wert bei $\tau = 0$ gibt die mittlere Leistung an:

$$\varphi_z ( \tau = 0) = {1}/{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$

Für $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... ergibt sich $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
Für die Zwischenwerte $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 4T$, $\underline{\tau = \pm 6T}$, ... gilt:

$$\varphi_z ( \tau) = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right) = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$

Autokorrelationsfunktionen und Kreuzkorrelationsfunktion

Hierbei steht $p$ für $p \cdot (+1)$ und $(p-1)$ für $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.
Mit $p = 0.25$ erhält man $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.

Die blaue Kurve zeigt $\varphi_z(\tau)$ für $p = 0.25$ im Bereich von $-7T \le \tau \le +7T$:

Aufgrund des rechteckförmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen.
Für $p = 0.5$ würden die äußeren (kleineren) Dreiecke verschwinden.

(2) Die AKF $\varphi_p(\tau)$ des unipolaren periodischen Signals $p(t)$ ist in der allgemeingültigen Darstellung von (1) ⇒ AKF $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall für $p = 1$ enthalten.

Man erhält nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit

$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$

$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

(3) Auch für die Kreuzkorrelationsfunktion ergibt sich für $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... stets der Wert Null.

Dagegen sind die KKF-Werte für $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 2T$, ... identisch mit denen bei $\tau = 0$:

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}= \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\, {\rm V}^2 .$$

Man erhält mit $p = 0.25$ folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$

Mit $p = 1$ würde dagegen $z(t) \equiv p(t)$ gelten und damit natürlich auch $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.
Für den Sonderfall $p = 0.5$ ergäbe sich keine Korrelation zwischen $p(t)$ und $z(t)$ und damit $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$.

(4) Durch Einsetzen von $c(t) = a(t) + b(t)$ in die allgemeine AKF-Definition erhält man:

$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} +\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}. $$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$

Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2.
Der Lösungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn $a(t)$ und $b(t)$ unkorreliert sind.
Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch.
Eine ähnliche Gleichung würde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF $f_c(c)$ der Summe $c(t) = a(t) + b(t)$ betrachten und $a(t)$ und $b(t)$ statistisch unabhängig sind:

$$f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$$

(5) Mit dem Ergebnis aus (4) und unter Berücksichtigung des Faktors $1/2$ erhält man:

$$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \big[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau ) \big] . $$

Hierbei ist bereits berücksichtigt, dass die KKF zwischen $p(t)$ und $z(t)$ eine gerade Funktion ist, so dass auch $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$ gilt.
Für $\tau = 0$ erhält man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:

$$\varphi_s( \tau = 0) = {1}/{4} \cdot \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$

Mit $p = 0.25$ ergibt sich $\varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$. Das Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$; sonst ist $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
Für geradzahlige Vielfache von $T$ gilt:

$$ \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} = \frac {0.5 {\rm V}^2}{4} \left( (1-2p)^2 +1 + 2 \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2 \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$

Mit $p = 0.5$ erhält man hierfür den Wert $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$. Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von $T$ sind wieder Null.
Damit ergibt sich der unten skizzierte AKF–Verlauf.

AKF eines unipolaren Rechtecksignals

Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:

$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$

$$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$

$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$

Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe (1) zeigt, dass das Binärsignal $s(t)$ bis auf den Faktor $1/4$ die gleiche AKF aufweist wie das Ternärsignal $z(t)$.