Aufgabe 4.14: AKF und KKF bei Rechtecksignalen

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AKF und KKF bei Rechtecksignalen

Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal  $p(t)$  entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten  $0 \hspace{0.05cm} \rm V$  und  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  und der Rechteckdauer  $T$.  Die Periodendauer beträgt somit  $T_0 = 2T$.

Darunter ist das Zufallssignal  $z(t)$  gezeichnet.

• Dieses ist zwischen  $(2i-1)\cdot T$  und  $2i \cdot T$  jeweils  $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$  (im Bild rot hervorgehoben).
• In den blau gezeichneten Intervallen zwischen  $2i \cdot T$  und  $(2i+1) \cdot T$  ist der Signalwert zweipunktverteilt  $(\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$.

Die Wahrscheinlichkeit,  dass in den blau dargestellten Intervallen  $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$  gilt,  sei allgemein gleich  $p$  und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.

Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:

$$s(t) = {1}/{2} \cdot \big[p(t) + z(t)\big].$$

• In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen  $(2i-1) \cdot T$  und  $2i \cdot T$  $(i$  ganzzahlig$)$  gilt  $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl  $p(t)$  als auch  $z(t)$  gleich Null sind.
• In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen  $0 \hspace{0.05cm} \rm V$  und  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  wieder mit der Wahrscheinlichkeit  $p$  auftritt.

• Oder anders ausgedrückt:   Die Signale  $z(t)$  und  $s(t)$  sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer  $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, \ +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$  bzw. unipolarer  $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, \ 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$  Signaldarstellung.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  Autokorrelationsfunktion.
• Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von  $-7T$  bis  $+7T$.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die AKF  $\varphi_z(\tau)$  und skizzieren Sie diese für  $p = 0.25$.  Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 0$,  $\tau = 3T$  und  $\tau = 6T$?

$\varphi_z(\tau= 0) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_z(\tau= 3T) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_z(\tau= 6T) \ = \ $ $\ \rm V^2$

2

Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus  (1)  die AKF  $\varphi_p(\tau)$.  Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 0$,  $\tau = 3T$  und  $\tau = 6T$?

$\varphi_p(\tau= 0) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 3T) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 6T) \ = \ $ $\ \rm V^2$

3

Es gelte wieder  $p = 0.25$.  Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion  $\varphi_{pz}(\tau)$ für  $\tau = 0$,  $\tau = 3T$  und  $\tau = 6T$ ?

$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ = \ $ $\ \rm V^2$

4

Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein für die Summe  $c(t) = a(t) + b(t)$ ?

	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_{ab}(\tau) + \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) \star \varphi_b(\tau)$.

5

Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses von  (4)  die AKF  $\varphi_s(\tau)$.  Welche Werte ergeben sich mit  $p = 0.25$  für  $\tau = 0$,  $\tau = 3T$  und  $\tau = 6T$ ?

$\varphi_s(\tau= 0) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_s(\tau= 3T) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_s(\tau= 6T) \ = \ $ $\ \rm V^2$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Der AKF-Wert bei  $\tau = 0$  gibt die mittlere Leistung an:

$$\varphi_z ( \tau = 0) = {1}/{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$

• Für  $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ...   ergibt sich  $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
• Für die Zwischenwerte  $\tau = \pm 2T$,  $\tau = \pm 4T$,  $\underline{\tau = \pm 6T}$, ...   gilt:

$$\varphi_z ( \tau) = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right) = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$

Autokorrelationsfunktionen und Kreuzkorrelationsfunktion

• Hierbei steht  $p$  für  $p \cdot (+1)$  und  $(p-1)$  für $(1-p) \cdot (-1)$,  also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.
• Mit  $p = 0.25$  erhält man  $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.

Die blaue Kurve zeigt  $\varphi_z(\tau)$  für  $p = 0.25$  im Bereich von  $-7T \le \tau \le +7T$:

• Aufgrund des rechteckförmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen.
• Für  $p = 0.5$  würden die äußeren  (kleineren)  Dreiecke verschwinden.

(2)  Die AKF  $\varphi_p(\tau)$  des unipolaren periodischen Signals  $p(t)$  ist in der allgemeingültigen Darstellung von  (1)   ⇒   AKF  $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall für  $p = 1$  enthalten.

• Man erhält nun eine periodische AKF  (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze)  mit

$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$

$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

(3)  Auch für die Kreuzkorrelationsfunktion ergibt sich für  $\tau = \pm T$,  $\underline{\tau = \pm 3T}$, ...   stets der Wert Null.

• Dagegen sind die KKF-Werte für  $\tau = \pm 2T$,  $\tau = \pm 2T$, ...   identisch mit denen bei  $\tau = 0$:

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}= \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\, {\rm V}^2 .$$

• Man erhält mit  $p = 0.25$  folgende Ergebnisse  (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$

• Mit  $p = 1$  würde dagegen  $z(t) \equiv p(t)$  gelten und damit natürlich auch  $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.
• Für den Sonderfall  $p = 0.5$  ergäbe sich keine Korrelation zwischen  $p(t)$  und  $z(t)$  und damit  $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$.

(4)  Durch Einsetzen von  $c(t) = a(t) + b(t)$  in die allgemeine AKF-Definition erhält man:

$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} +\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ).$$

• Richtig ist somit der  Lösungsvorschlag 2.
• Der Lösungsvorschlag 1 trifft nur zu,  wenn  $a(t)$  und  $b(t)$  unkorreliert sind.
• Der letzte Vorschlag,  die Faltungsoperation,  ist immer falsch.
• Eine ähnliche Gleichung würde sich nur dann ergeben,  wenn wir die WDF  $f_c(c)$  der Summe  $c(t) = a(t) + b(t)$  betrachten und  $a(t)$  und  $b(t)$  statistisch unabhängig sind:  

$$f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$$

(5)  Mit dem Ergebnis aus  (4)  und unter Berücksichtigung des Faktors  $1/2$  erhält man:

$$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \big[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau ) \big] .$$

• Hierbei ist bereits berücksichtigt,  dass die KKF zwischen  $p(t)$  und  $z(t)$  eine gerade Funktion ist,  so dass auch  $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$  gilt.
• Für  $\tau = 0$  erhält man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:

$$\varphi_s( \tau = 0) = {1}/{4} \cdot \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$

• Mit  $p = 0.25$  ergibt sich  $\varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$.  Das Ergebnis ist plausibel.  Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall  $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$;  sonst ist  $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
• Für geradzahlige Vielfache von  $T$  gilt:

$$\varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} = \frac {0.5 {\rm V}^2}{4} \left( (1-2p)^2 +1 + 2 \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2 \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$

• Mit  $p = 0.5$  erhält man hierfür den Wert  $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$.  Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von  $T$  sind wieder Null.
• Damit ergibt sich der unten skizzierte AKF–Verlauf.

AKF eines unipolaren Rechtecksignals

• Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:

$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$

$$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$

$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$

• Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe  (1)  zeigt, dass das Binärsignal  $s(t)$  bis auf den Faktor  $1/4$  die gleiche AKF aufweist wie das Ternärsignal  $z(t)$.