Aufgabe 4.06: Optimale Entscheidungsgrenzen

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Signalraumkonstellation mit
$N = 2, \ M = 2$

Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem  $(M = 2)$,  das durch die gezeichnete 2D–Signalraumkonstellation  $(N = 2)$  festliegt.  Für die beiden möglichen Sendevektoren,  die mit den Nachrichten  $m_0$  und  $m_1$  direkt gekoppelt sind,  gilt:

$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0 \hspace{0.05cm},$$

$$\boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1 \hspace{0.05cm}.$$

Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen  $I_0 ⇔ m_0$  und  $I_1 ⇔ m_1$,  wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:

• Für die Teilaufgaben  (1)  bis (3)  gilt:

$${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5 \hspace{0.05cm}.$$

• Für die Teilaufgaben  (4)  und  (5)  soll dagegen gelten:

$${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$

Bei AWGN–Rauschen mit Varianz  $\sigma_n^2$  ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors  $\boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \rho_2)$:

$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$

Zusätzlich sind in der Grafik zwei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm},$$

$$\boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5)$$

eingezeichnet.  Es ist zu überprüfen,  ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen  $I_0$  $($und damit der Nachricht  $m_0)$  oder  $I_1$  $($Nachricht  $m_1)$  zugeordnet werden sollten.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit".

• Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie  $E = 1$  gesetzt werden.

Fragebogen

1

Wo liegt die optimale Entscheidergrenze bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?  Bei

	$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
	$\rho_2 = \, –4/3 \cdot \rho_1 + 19/3$,
	$\rho_2 = 3$.

2

Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert  $A = (1.5, \ \, 2)$?

	Zum Entscheidungsgebiet  $I_0$,
	zum Entscheidungsgebiet  $I_1$.

3

Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert  $B = (3, \ \, 3.5)$?

	Zum Entscheidungsgebiet  $I_0$,
	zum Entscheidungsgebiet  $I_1$.

4

Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für  ${\rm Pr}(m_0) = 0.817,\ \sigma_n = 1$?

	$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
	$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/4$,
	$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/2$,
	$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1$.

5

Welche Entscheidungen werden mit diesen neuen Regionen  $I_0$  und  $I_1$  getroffen?

	Der Empfangsvektor  $A$  wird als Nachricht  $m_0$  interpretiert.
	Der Empfangsvektor  $A$  wird als Nachricht  $m_1$  interpretiert.
	Der Empfangsvektor  $B$  wird als Nachricht  $m_0$  interpretiert.
	Der Empfangsvektor  $B$  wird als Nachricht  $m_1$  interpretiert.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Mit  ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$  lautet die Gleichung der Begrenzungsgeraden zwischen den Entscheidungsgebieten  $I_0$  und  $I_1$:

$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$

• Mit den gegebenen Vektorwerten,  also den Zahlenwerten

$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 4^2 + 1^2 = 17\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} || \boldsymbol{ s }_0||^2 = 1^2 + 5^2 = 26\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0 = (3,\hspace{0.1cm}-4) \hspace{0.05cm}$$

erhält man folgende Gleichung für die Entscheidungsgrenzen:

$$3 \cdot \rho_1 - 4 \cdot \rho_2 = ({17-26})/{2} = - {9}/{2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 \hspace{0.05cm}.$$

Entscheidungsgerade und Entscheidungsregionen für  $K=0$

• Die Entscheidungsgrenze liegt in der Mitte zwischen  $s_0$  und  $s_1$  und verläuft um  $90^\circ$  gedreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den beiden Symbolen.
• Sie geht durch den Punkt $(2.5, \ \, 3)$.  Richtig ist also der  erste Lösungsvorschlag.
• Der Vorschlag 2 beschreibt dagegen die Verbindungsgerade selbst und  $\rho_2 = 3$  ist eine Horizontale.

(2)  Das Entscheidungsgebiet  $I_1$  sollte natürlich den Punkt  $s_1$  beinhalten   ⇒   Gebiet unterhalb der Entscheidungsgeraden.

• Punkt  $A = (1.5, \ \, 2)$  gehört zu diesem Entscheidungsgebiet,  wie aus der Grafik hervorgeht.
• Rechnerisch lässt sich dies zeigen,  da die Entscheidungsgerade zum Beispiel durch den Punkt  $(1.5, \ \, 2.25)$  geht und somit  $(1.5, \ \, 2)$  unterhalb der Entscheidungsgeraden liegt.
• Richtig ist also der  Lösungsvorschlag 2.

(3)  Die Entscheidungsgerade geht auch durch den Punkt  $(3, \ \, 3.375)$.

• $B = (3, \ \, 3.5)$  liegt oberhalb und gehört somit zum Entscheidungsgebiet  $I_0$  entsprechend dem  Lösungsvorschlag 1.

(4)  Entsprechend der Gleichung auf dem Angabenblatt und den Berechnungen zur Teilaufgabe  (1)  gilt nun:

Entscheidungsgebiete für verschiedene  $K$–Werte

$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$

• Mit  $|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 17$,  $|| \boldsymbol{ s }_0||^2 = 26$,  $\boldsymbol{ s }_1 \, –\boldsymbol{ s }_0 = (3, \ \, –4)$  erhält man:

$$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - K /8 \hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei ist folgende Abkürzung verwendet worden:

$$K = 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot 1^2 \cdot 1.5 = 3 \hspace{0.05cm}.$$

• Daraus folgt weiter:

$$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - 3 /8 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/4 \hspace{0.05cm}.$$

• Die Entscheidungsgerade ist um  $3/8$  nach unten verschoben  $($schwarze Kurve,  mit  "$K = 3$" bezeichnet in der Grafik$)$.
• Richtig ist also der  Lösungsvorschlag 2.

1. Die erste Gleichung beschreibt die optimale Entscheidungsgrenze für gleichwahrscheinliche Symbole  $(K = 0$,  grau gestrichelt$)$.
2. Die dritte Gleichung gilt für  $K = \, –3$.  Diese ergibt sich mit  $\sigma_n^2 = 1$  für die Symbolwahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(m_1) \approx 0.817$,  ${\rm Pr}(m_0) \approx 0.138$  $($grüne Kurve$)$.
3. Die violette Gerade ergibt sich mit  $K = 9$,  also zum Beispiel bei gleichen Wahrscheinlichkeiten wie für die schwarze Kurve,  aber nun mit der Varianz  $\sigma_n^2 = 3$.

(5)  Bereits aus obiger Grafik erkennt man,  dass nun sowohl  $A$  als auch  $B$  zur Entscheidungsregion  $I_0$  gehören.  Richtig sind also die  Lösungsvorschläge 1 und 3.