Vier $(6, 3)$–Blockcodes
In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ charakterisiert werden:
- ${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- ${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- ${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- ${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare
- systematisch sind,
- identisch sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
- äquivalent sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten "Systematische Codes" sowie "Identische Codes".
- Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Gleichungen, entspricht dies der Vertauschung von Zeilen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Antworten 1, 3 und 4:
- Für einen systematischen $(6, 3)$–Blockcode muss gelten:
- $$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
- Diese Bedingung erfüllen Code $\rm A$, Code $\rm C$ und Code $\rm D$, nicht aber Code $\rm B$.
(2) Richtig ist nur Antwort 1:
- Nur Code $\rm A$ und Code $\rm B$ sind identische Codes. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
- Wie in der Musterlösung zur "Aufgabe A1.8 (3)" angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$
- allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen, oder
- durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
(3) Richtig ist somit allein Antwort 2:
- Code $\rm A$ und Code $\rm B$ sind mehr als äquivalent, nämlich identisch.
- Code $\rm C$ und Code $\rm D$ unterscheiden sich durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.
- Code $\rm B$ und Code $\rm C$ zeigen dagegen gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.
(4) Richtig ist Antwort 3:
- Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
- Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
- Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.
(5) Alle Aussagen treffen zu:
- Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes.
