Gemäß dem Kanalcodierungstheorem lassen sich Binärsignale über den AWGN–Kanal dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn
- man einen Kanalcode der Rate $R = k/n$ verwendet,
- die Blocklänge $n$ dieses Codes sehr groß gewählt wird ⇒ $n → ∞$,
- die Rate $R$ kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität $C_{2}$,
- wobei die BPSK–Kanalkapazität $C_{2}$ vom AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ abhängt.
Hinweise:
- Der zulässige Bereich für die Coderate $R$ ist in der Grafik grün hinterlegt.
- Die Grenzkurve $C_{2}$, ist gültig für binäre Eingangssignale $($daher der Index $2)$ und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für "Binary Phase Shift Keying").
- Diese ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann.
- Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität $C$ eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.
- Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte $R > 1$ annehmen.
- Für eine Gaußverteilung ergibt sich für die Rate $R$ das kleinstmögliche $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$ gemäß der Gleichung
- $$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$
Im Umkehrschluss ist die Rate $R$ für den gegebenen AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ nach oben begrenzt:
- Die gerade noch zulässige Coderate $R_{\rm max}$ bei gegebenem Kanal $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$ bezeichnen wir als die Kanalkapazität $C$.
- Für $E_{\rm B}/N_{0} = 1 ⇒ 10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$ erhält man beispielsweise $C = 0.5$.
- Das heißt: Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert $R = 0.5$ nicht überschreiten.
- Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß $C_{2}.$
In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität $C_{2}$ durch eine Exponentialfunktion anzunähern:
- Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik)
- $$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
- Das heißt: $x$ ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet.
- Berücksichtigen Sie, dass für ein kleines $E_{\rm B}/N_{0}$ die Näherung $C_{2} \approx C$ gültig ist (siehe Grafik), woraus der Parameter $x_{0}$ bestimmt werden kann.
- Setzen Sie für $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$ an und bestimmen Sie den Parameter $a$ aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart, dass $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$ gilt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung". Sie ergänzt die Aufgabe 1.17.
- Auf die Pseudo–Einheit "bit/Kanalzugriff" der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Im unteren $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
- $C_{2}$ $($gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK$)$ und
- $C$ $($gültig für analogen reellwertigen Eingang$)$
zusammen. Für eine gegebene Rate $R$ muss $E_{\rm B}/N_{0}$ größer sein als $(2^{2R} – 1)/2R.$
Der Grenzübergang für $R → 0$ liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:
- $${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} {\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] \approx -1.6 \,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.6 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Aus der Grafik auf der Angabenseite lässt sich die Tangentensteigerung im Nullpunkt abschätzen:
- $$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$
Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes $x$:
- $$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$
(3) Aus $E_{\rm B} = N_{0}$ folgt $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:
- $$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$
Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.
Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden:
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.94}\hspace{0.05cm},$$
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$
Ab etwa $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$ gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit: $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$ (bit/Kanalzugriff).
