Aufgabe 1.2Z: 3D–Darstellung von Codes

Raum $\rm GF(2^3)$ und
Code der Länge $n = 3$

Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im $n$–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge $n = 3$:

$$\underline{x} = (x_{1},\ x_{2},\ x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0,\ 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$

Allgemein gilt bei der Blockcodierung:

Das Informationswort $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$ wird eindeutig in das Codewort $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$ überführt.

Die Coderate beträgt $R = k/n$.

Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$ zwischen zwei Codeworten $x ∈ \mathcal{C}$ und $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$ gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich $x$ und $x\hspace{0.05cm}'$ unterscheiden.

Die Minimaldistanz $d_{\rm min} = {\rm min}\big[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')\big]$ ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.

Es können $e =d_{\rm min} – 1$ Fehler erkannt und $t =(d_{\rm min} – 1)/2$ Fehler korrigiert werden.

Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Zielsetzung der Kanalcodierung".

Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel "Beispiele binärer Blockcodes" vorweg genommen.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

Bei dieser Belegung werden $k = 3$ Informationsbits auf $n = 3$ Codebits abgebildet ⇒ $R = k/n = 1$.
Die Aussage $\underline{x} = \underline{u} $ würde nur bei systematischer Codierung gelten.
Prinzipiell möglich wäre zum Beispiel auch $(0, 0, 0)$ → $(0, 1, 1)$.
Die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch: Aus der Grafik erkennt man die Minimaldistanz $d_{\rm min} = 1$.

Zwei $(3, 2, 2)$–Blockcodes

(2) Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

$\mathcal{C}_{1}$ und $\mathcal{C}_{2}$ beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate $R = 2/3$ und der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$.
In der Grafik markieren die grünen Punkte den Code $\mathcal{C}_{1}$ und die blauen Punkte den Code $\mathcal{C}_{2}$.
Beim Code $\mathcal{C}_{3}$ – ebenfalls mit Rate $R = 2/3$ – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten $d_{\rm min} = 1$, zum Beispiel zwischen $(0, 0, 0)$ und $(1, 0, 0)$ oder zwischen $(0, 1, 1)$ und $(1, 1, 1)$.

(3) Richtig ist nur die Aussage 1:

Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$ kann lediglich ein Bitfehler erkannt werden.
In der oberen Grafik kennzeichnen die grünen Punkte zulässige Codeworte von $\mathcal{C}_{1}$. Wird ein blauer Punkt empfangen, so weist dies auf einen Übertragungsfehler hin.
Eine Fehlerkorrektur ist mit $d_{\rm min} = 2$ dagegen nicht möglich.
Der Code $\mathcal{C}_{1}$ entspricht dem Single Parity–check Code $(3, 2, 2)$.

$(3, 1, 3)$–Blockcode

(4) Richtig sind die Antworten 2, 3 und 4:

$C_{4}$ beschreibt den $(3, 1, 3)$–Wiederholungscode.
Bei diesem Code sind zwar zwei der insgesamt acht möglichen Punkte belegt, woraus man fälschlicherweise auf die Coderate $R = 1/4$ schließen könnte. Die Coderate berechnet sich aber gemäß $R = k/n = 1/3$.
Aus der unteren Grafik erkennt man, dass wegen $d_{\rm min} = 3$ nun auch ein Bitfehler korrigiert werden kann.
Bei der Decodierung werden alle hellgrünen Punkte (mit schwarzer Umrahmung) in den grünen Punkt $(0, 0, 0)$ überführt und alle hellblauen in den blauen Punkt $(1, 1, 1)$.
Gleichzeitig können bis zu zwei Bitfehler erkannt werden (einer natürlich auch).

	Es gilt die Zuordnung $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ → $\underline{x} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.
	Es gilt die Identität $\underline{x} = \underline{u}$.
	Die Coderate ist $R = 1$.
	Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist $d_{\rm min} = 2$.

	Die Coderate beträgt $R = 1/4$.
	Die Coderate beträgt $R = 1/3$.
	Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

	Code $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0),\ (0, 1, 1),\ (1, 0, 1),\ (1, 1, 0)\}$ ist möglich.
	Code $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1),\ (0, 1, 0),\ (1, 0, 0),\ (1, 1, 1)\}$ ist möglich.
	Code $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0),\ (0, 1, 1),\ (1, 0, 0),\ (1, 1, 1)\}$ ist möglich.