Aufgabe 1.2: Schaltlogik (D/B-Wandler)

A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)

Logisches Schaltwerk

Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von $1$ bis $15$.

Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block).
Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit.
Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte

$$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$

Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:

$$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D.$$

Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit $X$ bezeichnet wird:

\[ U = A \cap \overline{D} \]

\[ V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} \]

$$W,\; {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$

Es ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist.
Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.

Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Das Ereignis $U$ beinhaltet

diejenigen Zahlen größer/gleich acht $(A = 1)$,
die gerade sind $(D = 0)$: $8, 10, 12, 14$ ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4.

(2) Das Ereignis $V$ besteht aus den beiden Zahlen $4$ (binär 0100) und $6$ (binär 0110) ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.

Hilfs–Venndiagramm

(3) Für das Ereignis $W$ gilt mit dem Theorem von de Morgan:

$$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W = \overline{\overline W} = A \cap D \cap (\overline{\overline B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \overline C}).$$

Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:

$$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$

Mit der Boolschen Beziehung $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$ erhält man schließlich (siehe Skizze):

$$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D).$$

Somit beinhaltet $W$ die Zahlen $15$ und $9$ ⇒ nur der Lösungsvorschlag 1 ist richtig.

(4) Die Vereinigungsmenge von $U$, $V$ und $W$ beinhaltet die Zahlen $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$.

Dementsprechend gilt für die Menge $P$ als das Komplement dieser Vereinigungsmenge:

$$P = {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}.$$

Dies sind genau die mit vier Bit darstellbaren Primzahlen ⇒ Lösungsvorschlag 2.

	$U$ beinhaltet zwei Elemente.
	$U$ beinhaltet vier Elemente.
	Das kleinste Element von $U$ ist $4$.
	Das größte Element von $U$ ist $14$.

	$V$ beinhaltet zwei Elemente.
	$V$ beinhaltet vier Elemente.
	Das kleinste Element von $V$ ist $4$.
	Das größte Element von $V$ ist $14$.

	$W$ beinhaltet zwei Elemente.
	$W$ beinhaltet vier Elemente.
	Das kleinste Element von $W$ ist $4$.
	Das größte Element von $W$ ist $14$.

	$P$ beinhaltet alle Zweierpotenzen.
	$P$ beinhaltet alle Primzahlen.
	$P$ beschreibt die leere Menge \(\phi\) .
	$P$ ist identisch mit der Grundmenge $G = {1,2, \ \text{...} \ , 15}$.