und zweiter Ordnung (unten)
In Aufgabe 1.1 und Aufgabe 1.1Z im Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich wurden die so genannten RC–Tiefpässe im Frequenzbereich beschrieben. Hier erfolgt nun die Zeitbereichsdarstellung.
Die oben skizzierte Schaltung mit dem Eingangssignal $x(t)$ und dem Ausgangssignal $y_1(t)$ ist ein Tiefpass erster Ordnung mit dem Frequenzgang
- $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0}}.$$
Hierbei gibt $f_0 = 1/(2πRC)$ die 3dB–Grenzfrequenz an. Legt man am Eingang ein diracförmiges Signal $x(t) = δ(t)$ an, so erscheint am Ausgang das Signal $y_1(t)$ gemäß der mittleren Skizze.
Der Zusammenhang zwischen den Systemparametern $R$, $C$ und $T$ lautet (siehe Aufgabe 1.3Z):
- $$T = \frac{1}{\omega_{\rm 0}}= \frac{1}{2\pi f_{\rm 0}} = R \cdot C.$$
Für numerische Berechnungen soll im Folgenden $T = 1 \ \rm ms$ verwendet werden.
Die untere Schaltung mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y_2(t)$ zeigt einen Tiefpass zweiter Ordnung:
- $$H_{\rm 2}(f) = \big[H_{\rm 1}(f)\big]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$
- Die zu $H_2(f)$ gehörende Impulsantwort ist $h_2(t)$.
- Der Systemparameter $f_0$ gibt bei einem Tiefpass zweiter oder höherer Ordnung nicht mehr dessen 3dB–Grenzfrequenz.
- Weiterhin ist noch zu beachten, dass die beiden RC-Glieder entkoppelt werden müssen, um Widerstandsanpassung zu erreichen.
- Hierzu eignet sich zum Beispiel ein Operationsverstärker. Dieser Hinweis ist jedoch für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Zeitbereich
- Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
- $$\int u \cdot {\rm e}^{a \cdot \hspace{0.03cm} u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u = \frac{{\rm e}^{\hspace{0.03cm}a \cdot \hspace{0.03cm} u}}{a^2} \cdot (a \cdot u -1).$$
Fragebogen
Musterlösung
- Entsprechend der Musterlösung zu Aufgabe 1.3Z und obiger Skizze gilt:
- $$h_1(t) = y_1(t) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
- Für den Zeitpunkt $t_1$ soll gelten:
- $$h_1(t_{\rm 1}) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t_{\rm 1}/T} = \frac{1}{2T} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{t_{\rm 1}}/{T} = {\rm ln}(2)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}t_{\rm 1} = 0.693 \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.693\,\,ms}}.$$
(2) Das Eingangssignal $x(t)$ ist wie die Impulsantwort $h_1(t)$ ein exponentiell abfallender Impuls, jedoch dimensionslos.
- Somit gilt nach dem Faltungssatz:
- $$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \big[ h_1 (t) * h_1 (t) \big].$$
- Die Faltung ist hier für einen spezifischen Zeitpunkt $t$ durch eine Skizze verdeutlicht.
- Nach Variablenumbenennung erhält man:
- $$\begin{align*}h_1(\tau) & = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(t-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \\ & \Rightarrow\hspace{0.5cm} y_1(t) = T \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } h_1 ( {t - \tau } )\cdot {h_1 ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.\end{align*}$$
- Für $τ < 0$ ist $h_1(τ) = 0$. Für $τ > t$ verschwindet der erste Faltungsoperand (siehe Skizze). Daraus folgt:
- $$y_1(t) = T \cdot \frac{1}{T^2}\cdot \int_{ 0 }^{ t } {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot \int_{ 0 }^{ t } {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
- Man sieht, dass nun der Integrand unabhängig von der Integrationsvariablen $τ$ ist. Somit gilt:
- $$y_1(t) = {t}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y_1(t =0) \hspace{0.15cm}\underline{=0}; \hspace{0.5cm}y_1(t =T)={\rm e}^{-1} \hspace{0.15cm}\underline{=0.368}.$$
(3) Aufgrund des Zusammenhangs $H_2(f) = H_1(f) · H_1(f)$ gilt für die Impulsantwort: $h_2(t) = h_1 (t) * h_1 (t).$
- Bis auf den zusätzlichen konstanten Faktor $1/T$ erhält man das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (2):
- $$h_2(t) ={t}/{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
- Der Maximalwert wird durch Nullsetzen der Ableitung ermittelt:
- $$\frac{{\rm d} h_2(t)}{{\rm d}t} = \frac{1}{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T} \cdot \left( 1 - {t}/{T}\right) = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} t_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline{= T = 1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} h_2(t_{\rm 2}) =\frac{{\rm e}^{-1}}{T} =\frac{0.368}{1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 368 \hspace{0.1cm} 1/s}}.$$
(4) Allgemein bzw. mit dem Ergebnis aus (3) gilt für die Sprungantwort:
- $${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t } {h_2 ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T^2} \cdot \int_{ 0 }^{ t } \tau \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
- Mit der Substitution $u = τ/T$ folgt daraus unter Verwendung des angegebenen Integrals:
- $${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t /T} u \cdot {\rm e}^{-u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u ={\rm e}^{-u} \cdot (-u-1) |_{ 0 }^{ t /T} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm \sigma_2}(t) = 1- \left( 1 + {t}/{T} \right) \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
- Zu den angegebenen Zeitpunkten erhält man unter weiterer Berücksichtigung des Faktors $2\ \rm V$:
- $$y_2(t = T) = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 2 \cdot {\rm e}^{-1} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.528 \,V}}, \hspace{0.9cm}y_2(t = 5T) = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 6 \cdot {\rm e}^{-5} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 1.919 \,V}}.$$
- Für noch größere Zeiten nähert sich $y_2(t)$ immer mehr dem Endwert $2\hspace{0.05cm} \rm V$ an.
