Aufgabe 1.5Z: SPC (5, 4) vs. RC (5, 1)

Single Parity–check Code und Wiederholungscode mit $n = 5$

Zwischen dem Single Parity–check Code und dem Repetition Code gleicher Codelänge $n$ besteht eine gewisse Verwandtschaft. Wie im Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes noch gezeigt wird, handelt es sich um so genannte duale Codes.

Der Single Parity–check Code mit den Parametern $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ $\rm SPC \ (5, 4)$ fügt zu den vier Informationsbits $u_{1}$, ... , $u_{4}$ ein Prüfbit $p$ hinzu, so dass in jedem Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:

$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Grundstruktur dieser beiden Codes, die in dieser Aufgabe miteinander verglichen werden sollen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Beispiele binärer Blockcodes.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Single Parity–check Codes sowie Wiederholungscodes.

Fragebogen

$\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}|\hspace{0.05cm}\mathcal{C}\hspace{0.05cm}| \ = \ $

$\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}|\hspace{0.05cm}\mathcal{C}\hspace{0.05cm}| \ = \ $

	$(0, 0, 0, 0, 0)$,
	$(0, 0, 1, 0, 0)$,
	$(1, 1, 0, 1, 1)$,
	$(1, 1, 1, 1, 1)$.

	$(0, 0, 0, 0, 0)$,
	$(0, 0, 1, 0, 0)$,
	$(1, 1, 0, 1, 1)$,
	$(1, 1, 1, 1, 1)$.

$\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}N \ = \ $

$\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}N \ = \ $

$\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}d_{\rm min} \ = \ $

$\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}d_{\rm min} \ = \ $

$\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}e \ = \ $

$\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}e \ = \ $

$\ {\rm SPC} \ (5, 4)\text{:}\hspace{0.4cm}t \ = \ $

$\ {\rm RC} \ (5, 1)\text{:}\hspace{0.6cm}t \ = \ $

Musterlösung

(1) Der Codeumfang gibt die Anzahl der möglichen Codeworte an. Es gilt $|\mathcal{C}| = 2^k$, so dass es

beim hier betrachteten Single Parity–check Code 16 Codeworte gibt ($k = 4$), und
beim Wiederholungscode nur zwei Codeworte ($k = 1$).

(2) Bei jedem Single Parity–check Code ist die Anzahl der Einsen geradzahlig ⇒ Antwort 1 und 3.

(3) Bei einem jeden Wiederholungscode gibt es (unabhängig von $n$) nur zwei Codeworte, die beide hier angegeben sind ⇒ Antwort 1 und 4.

(4) Aufgrund von Bitfehlern kann es für den Empfangsvektor $\underline{y}$ stets $N = 2^n \hspace{0.15cm}\underline{= 32}$ unterschiedliche Bitkombinationen geben, die alle in die Maximum–Likelihood–Entscheidung einbezogen werden müssen.

Dies gilt sowohl für den SPC (5, 4) als auch für den RC (5, 1).

(5) Beim SPC (5, 4) beträgt die Hamming–Distanz zwischen zwei beliebigen Codeworten mindestens $d_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2}$. Dagegen sind beim RC (5, 1) alle Bit der beiden Codeworte unterschiedlich ⇒ $d_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 5}$.

(6) Eine Fehlererkennung ist möglich, so lange nicht mehr als $e = d_{\rm min} – 1$ Bitfehler in einem Codewort auftreten.

Mit dem Ergebnis aus (5) erhält man $\underline{e = 1}$ (SPC) bzw. $\underline{e = 4}$ (RC).

(7) Allgemein gilt für die Anzahl der korrigierbaren Fehler:

$$t = \left\lfloor \frac{d_{\rm min}-1}{2} \right\rfloor \hspace{0.05cm}.$$

Bei jedem Single Parity–check Code ist ($d_{\rm min} – 1)/2 = 0.5$ ⇒ $\underline{t = 0}$.
Dagegen können mit dem RC (5, 1) wegen $d_{\rm min} = 5$ bis zu $\underline{t = 2}$ Fehler korrigiert werden.