Optimalsysteme im Zeit- und Frequenzbereich
Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme $\rm A$ und $\rm B$, die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte $N_{0}$ das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
- $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
- Das System $\rm A$ verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude $s_{0} = 1 \ \rm V$ und der Dauer $T = 0.5\ \rm µ s$.
- Dagegen besitzt das System $\rm B$, das mit der gleichen Bitrate wie das System $\rm A$ arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
- $$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} G_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} |f| < f_0 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Optimierung der Basisbandübertragungssysteme".
- Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit $(E_{\rm B})$ die Einheit $\rm V^{2}/Hz$ aufweist.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate.
- Der NRZ–Sendegrundimpuls von System $\rm A$ hat die Symboldauer $T = 0.5\ \rm µ s$.
- Daraus ergibt sich für die Bitrate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.
(2) Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System $\rm A$ ergibt sich zu
- $$E_{\rm B} = \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t = s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Die beiden ersten Aussagen treffen zu:
- In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein.
- Somit ergibt sich beim System $\rm A$ eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.
- Beim System $\rm B$ ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
- Aussage 3 ist falsch: Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System $\rm A$ anbieten, nicht jedoch für System $\rm B$.
(4) Beim System $\rm B$ stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.
- Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt:
- Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.
- Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$.
- Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm µ s$ sein soll:
- $$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:
- $$E_{\rm B} = \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f = G_0^2 \cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
- Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) folgt daraus:
- $$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Das System $\rm A$ stellt auch bei Spitzenwertbegrenzung das optimale System dar.
- Dagegen wäre das System $\rm B$ aufgrund des äußerst ungünstigen Crestfaktors hierfür denkbar ungeeignet.
