Rechtecksignale mit und ohne Gleichanteil
Die Grafik zeigt einige Zeitsignale, die für alle Zeiten $($von $-\infty$ bis $+\infty)$ definiert sind. Bei allen sechs Beispielsignalen $x_i(t)$ kann für die zugehörige Spektralfunktion geschrieben werden:
- $$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$
Hierbei bezeichnen
- $A_0$ den Gleichsignalanteil, und
- $\Delta X_i(f)$ das Spektrum des um den Gleichanteil verminderten Restsignals $\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0$.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Antworten 1, 3, 4, 5 und 6.
- Alle Signale mit Ausnahme von $x_2(t)$ beinhalten einen Gleichsignalanteil.
(2) Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 5:
- Subtrahiert man vom Signal $x_5(t)$ den Gleichanteil $1\text{V}$, so ist das Restsignal $\Delta x_5(t) = x5(t) - 1\text{V}$ gleich Null.
- Dementspechend ist auch die Spektralfunktion $\Delta X_5(f) = 0$.
- Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich Null und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$.
(3) Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils $A_0$ die Mittelung über eine Periodendauer.
- Beim Beispielsignal $x_3(t)$ ist diese $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu
- $$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot \big[1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms \big] \hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$
(4) Für das Signal $x_4(t)$ kann geschrieben werden: $x_4(t) = 0.5 \,{\rm V} + Δx_4(t)$.
- Hierbei bezeichnet $Δx_4(t)$ einen Rechteckimpuls mit Amplitude $0.5 \,{\rm V} $ und Dauer $4 \,{\rm ms} $, der wegen seiner endlichen Dauer nicht zum Gleichsignalanteil beiträgt.
- Deshalb gilt hier $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.
(5) Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet:
- $$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$
- Spaltet man dieses Integral in zwei Teilintegrale auf, so erhält man:
- $$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V \ {\rm d }{\it t }.$$
- Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.
