Lottoschein für $\text{6 aus 49}$
Für das Zahlenlotto sollen folgende Voraussetzungen gelten:
Es werden aus den $49$ Zahlen (Kugeln) in einer Trommel sechs Gewinnzahlen gezogen („6 aus 49 “), danach als siebente Kugel die sogenannte Zusatzzahl $(Z)$.
Unabhängig davon wird noch eine Superzahl $S \in \{0, \ 1,\hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, \ 9\}$ per Zufall ausgewählt. Stimmt diese mit der Endziffer des Lottoscheins überein, so wird der Hauptgewinn entscheidend vergrößert.
In dieser Aufgabe werden die folgenden Gewinnklassen betrachtet:
- 6 Richtige mit Superzahl
- 6 Richtige ohne Superzahl
- 5 Richtige mit Zusatzzahl
- 5 Richtige ohne Zusatzzahl
- 4 Richtige
- 3 Richtige
Gehen Sie für die Teilaufgaben (1) bis (6) vom oberen Lottoschein aus: Der Spieler hat hier die Zahlen „1 “ bis „6 “ angekreuzt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Binomialverteilung.
- Diese Aufgabe wurde etwa 2002 konzipiert. Es kann durchaus sein, dass die Spielregeln beim Lotto inzwischen geändert wurden.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Mit der Annahme, dass der Spieler die Zahlen „1“ bis „6“ angekreuzt hat, gilt:
- $${\rm \Pr}(6\hspace{0.1cm}{\rm Richtige})={\rm \Pr}(123456\ \cup 123465\cup \ \text{...} \ \ \cup 654321).$$
- Hierbei ist berücksichtigt, dass die Reihenfolge bei der Ziehung keine Rolle spielt.
- Insgesamt gibt es genau $6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6$ gleichwahrscheinliche Permutationen für die Zahlenmenge:
- $$\rm \Pr(6\hspace{0.1cm}Richtige)=6!\cdot Pr(123456).$$
- Die Wahrscheinlichkeit, dass als erste Kugel die Zahl „1“ gezogen wird, ist $1/49$. Die Wahrscheinlichkeit für die „2“ als zweite Kugel ist entsprechend $1/48$ (da jetzt eine Kugel weniger in der Trommel ist). Damit erhält man als Endergebnis:
- $$\rm Pr(123456)=\frac{1}{49}\cdot\frac{1}{48}\cdot \frac{1}{47} \cdot \frac{1}{46}\cdot \frac{1}{45} \cdot \frac{1}{44},$$
- $$\rm Pr(6\hspace{0.1cm}Richtige)=\frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{49\cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}.$$
- Dies ist genau der Kehrwert von „49 über 6“. Daraus folgt:
- $$\rm Pr(6\hspace{0.15cm}Richtige)=\left({49 \atop {6}}\right)^{-1}=13\hspace{0.08cm}983\hspace{0.08cm}816^{-1}\hspace{0.15cm} \underline{\approx71.5\cdot 10^{-9}}.$$
(2) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Endziffer eines Lottoscheins mit der Superzahl übereinstimmt, ist $10\%$.
- Da aber die Ziehung der Superzahl unabhängig von der normalen Ziehung erfolgt, erhalten wir nun für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
- $$\text{ Pr(6R + S)} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \ 7.15\cdot 10^{-9}}.$$
(3) Im Folgenden steht $Z$ für „Zusatzzahl”. Dann gilt:
- $$\rm Pr(5\hspace{0.15cm}Richtige\hspace{0.1cm}mit\hspace{0.1cm}Zusatzzahl)={\rm Pr(12345} Z \ \cup \ {\rm 1234} Z\rm 6\cup \ \text{...} \ \cup \ Z {\rm 23456)}.$$
- Hier gibt es sechs Permutationen. Die Wahrscheinlichkeit für $\rm 12345Z$ ist die gleiche wie für $123456$. Daraus folgt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1):
- $$\rm Pr(5\hspace{0.15cm}Richtige\hspace{0.1cm}mit\hspace{0.1cm}Zusatzzahl)=6\cdot\left({49 \atop {6}}\right)^{-1}\hspace{0.15cm} \underline{=0.429\cdot10^{-6}}.$$
(4) Bezeichnen wir mit $X$ eine gezogene Zahl, die nicht zu den angekreuzten gehört, so kann man für die gesuchte Wahrscheinlichkeit schreiben:
- $${\rm \Pr(5\hspace{0.1cm}Richtige)=Pr(12345} X \ \cup \ {\rm 1234} X6\ \cup \ \text{...} \ \cup \ X23456).$$
- Für die Lage von $X$ gibt es sechs verschiedene Möglichkeiten, die alle gleichwahrscheinlich sind. Daraus folgt:
- $$\rm Pr(5\hspace{0.15cm}Richtige)=6\cdot Pr(12345\it X\rm ).$$
- $X$ kann hierbei für jede der Zahlen $7$ bis $49$ stehen, die wiederum alle gleichwahrscheinlich sind.
- Mit $\rm Pr(123457) = Pr(123456)$, dem Ergebnis der Teilaufgabe (1), erhält man somit:
- $$\rm Pr(5\hspace{0.1cm}Richtige)=6\cdot 43\cdot\left({49 \atop {6}}\right)^{-1}=1.85\cdot10^{-5}.$$
- Zu subtrahieren ist noch der Fall, dass auch die Zusatzzahl richtig gezogen wurde. Deshalb gilt:
- $$\rm \Pr(5\hspace{0.15cm}Richtige\hspace{0.1cm}ohne\hspace{0.1cm}Zusatzzahl)\approx 18.5\cdot 10^{-6}-0.429\cdot 10^{-6}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 18.1\cdot 10^{-6}}.$$
(5) Nach einigen Überlegungen kommt man zum Ergebnis:
- $$\rm Pr(\it k\hspace{0.15cm} \rm Richtige)=\left({\it m \atop {\it k}}\right)\cdot\left({\it n-m \atop {m-\it k}}\right)\cdot\left({\it n \atop {m}}\right)^{-1}.$$
- Der letzte Term in dieser Gleichung gibt die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte „$m$ aus $n$”–Kombination an.
- Der erste Term beschreibt die Anzahl der Permutationen, dass von $m$ gezogenen Zahlen genau $k$ richtig sind. Für $m = 6$ und $k= 5$ ergibt das den Faktor $6$.
- Der mittlere Faktor gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, dass alle restlichen gezogenen Zahlen $($also $m-k)$ eine der ungünstigen Zahlen $($hierfür gibt es $n-m)$ ist. Für $m = 6$ und $k= 5$ ergibt dieser Term entsprechend Punkt (4) den Wert $43$.
- Als Sonderfall erhalten wir beim „6 aus 49“ mit $k= 4$:
- $$\rm Pr(4\hspace{0.15cm}Richtige)=\left({6 \atop {4}}\right)\cdot\left({43 \atop {2}}\right)\cdot\left({49 \atop {6}}\right)^{-1}\hspace{0.15cm} \underline{=0.969\cdot10^{-3}}.$$
(6) Entsprechend der unter (5) berechneten allgemeinen Formel gilt weiter:
- $$\rm Pr(3\hspace{0.15cm}Richtige)=\left({6 \atop {3}}\right)\cdot\left({43 \atop {3}}\right)\cdot\left({49 \atop {6}}\right)^{-1}\hspace{0.15cm} \underline{=18.1\cdot10^{-3}}.$$
(7) Beide Aussagen sind richtig:
- Die Wahrscheinlichkeiten sind natürlich gleich. Weil das viele wissen und diese ihr Wissen auch (zumindest sich selbst) demonstrieren wollen, spielen sehr viel mehr Menschen diese Kombination als eine eher unspektakuläre.
- Da aber der in einer Gewinnklasse auszuzahlende Betrag vorher festgelegt wird und dieser Gewinn dann durch eine größere Anzahl von Gewinnern zu teilen ist, bleibt für den Einzelnen natürlich weniger.
- Da andererseits viele Lottospieler auf ihr Geburtsdatum setzen, ist die hier gewählte Komination auch nicht so günstig. Die Zahlen „3“, „8“ und „9“ können sowohl den Tag als auch das Monat angeben und zudem beginnt fast bei allen Spielern das Geburtsjahr mit „19”.
