Überblick der GWSSUS–Funktionen
Der Mobilfunkkanal kann in sehr allgemeinen Form durch vier Systemfunktionen beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen je zwei Funktionen durch
- die Fouriertransformation bzw.
- die Fourierrücktransformation
gegeben ist.
Wir bezeichnen die Funktionen einheitlich mit $\eta_{12}$. Die Indizes seien wie folgt vereinbart:
- $\rm V$ steht für Verzögerung $\tau$ $($Index „1”$)$,
- $\rm F$ steht für die Frequenz $f$ $($Index „1”$)$,
- $\rm Z$ steht für die Zeit $t$ $($Index „2”$)$,
- $\rm D$ steht für die Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ $($Index „2”$)$.
Der Zusammenhang zwischen den Funktionen ist in der oberen Grafik (gelbe Hinterlegung) dargestellt. Die Fourierkorrespondenzen sind grün eingezeichnet:
- Der Übergang von einem weiß gefüllten zu einem grün gefüllten Kreis entspricht einer Fouriertransformation.
- Der Übergang von einem grün gefüllten zu einem weiß gefüllten Kreis entspricht der Fourierrücktransformation (Gegenrichtung).
Beispielsweise gilt:
- $$\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t) \hspace{0.2cm} \stackrel{\tau, \hspace{0.08cm}f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f,\ t)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}\eta_{\rm FZ}(f,\ t) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.08cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)\hspace{0.05cm}.$$
- Die hieraus abgeleitete Korrelationsfunktion $\varphi_{12}$ und das Leistungsdichtespektrum $\it \Phi_{\rm 12}$ werden mit den gleichen Indizes versehen wie die Systemfunktion $\eta_{12}$.
- Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren Grafik an der roten Schrift, während alle Leistungsdichtespektren blau beschriftet sind. Es wird stets vom GWSSUS–Modell ausgegangen.
Betrachten wir hier die Systemfunktion $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$, also die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau,\ t)$. Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
- $$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1,\ t_1,\ \tau_2,\ t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1,\ t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2,\ t_2) \right ]\hspace{0.05cm},$$
- $$\Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \Delta t = t_2 - t_1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau,\ \Delta t) \hspace{0.05cm}, $$
- $$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau,\ \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta t) \hspace{0.05cm}.$$
- $${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta t = 0)\hspace{0.05cm}. $$
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel Das GWSUS–Kanalmodell.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Alle Aussagen sind richtig:
- $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$ ist die zeitvariante Impulsantwort, für die auch die Bezeichnung $h(\tau,\ t)$ gebräuchlich ist. Wie jede Impulsantwort hat auch $h(\tau,\ t)$ die Einheit $[1/\rm s]$.
- Durch Fouriertransformation der Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$ bezüglich der Verzögerung $\tau$ kommt man zu
- $$\eta_{\rm FZ}(f, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}. $$
- Durch die Integration nach $\tau$ $($Einheit: $\rm s)$ ist $\eta_{\rm FZ}(f,\ t)$, die auch als „zeitvariante Übertragungsfunktion” bezeichnet wird, ohne Einheit. In mancher Literatur wird anstelle von $\eta_{\rm FZ}(f,\ t)$ auch $H(f,\ t)$ verwendet.
- Auch die Verzögerungs–Doppler–Darstellung $\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$ hat keine Einheit. Diese Funktion ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$ durch die Fouriertransformation hinsichtlich $t$:
- $$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f_{\rm D} t}\hspace{0.15cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
- Die Funktion $\eta_{\rm FD}(t,\ f_{\rm D})$ ergibt sich aus den dimensionslosen Funktionen $\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$ bzw. $\eta_{\rm FZ}(f,\ t)$ jeweils durch eine Fouriertransformation, was die Einheit $[\hspace{0.03cm}\rm s\hspace{0.03cm}] = [1/\rm Hz\hspace{0.03cm}]$ zur Folge hat.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Die Autokorrelationsfunktion ist definitionsgemäß der folgende Erwartungswert:
- $$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1,\ t_1,\ \tau_2,\ t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1,\ t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2,\ t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.$$
- Da die zeitvariante Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$ die Einheit $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$ aufweist, hat deren AKF $\varphi_{\rm VZ}$ die Einheit $[1/\rm s^2\hspace{0.03cm}]$, sowohl mit dem Argument $(\tau_1,\ t_1,\ \tau_2,\ t_2)$ als auch mit dem GWSSUS–Argument $(\Delta \tau, \ \Delta t)$.
- Die Diracfunktion $\delta(\Delta \tau)$ hat die Dimension $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$, da das Integral über alle $\tau$ $($mit Einheit $[\rm s\hspace{0.03cm}])$ den Wert $1$ ergeben muss. Daraus folgt für die Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta \tau)$ die Einheit $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$, ebenso für die Verzögerungs–Leistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta t = 0)$.
(3) Richtig sind hier die Aussagen 1 und 3:
- Ausgehend von der Einheit $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$ der Funktion ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta t)$ kommt man durch Fouriertransformation bezüglich $\tau$ bzw. $\Delta t$ zu den Funktionen $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f,\ \Delta t)$ bzw. ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$. Beide sind dimensionslos.
- Das Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum hat die Einheit $[\rm s\hspace{0.03cm}] = [1/\rm Hz\hspace{0.03cm}]$, wegen
- $${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f_{\rm D} \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}. $$
