Aufgabe 2.6: Modifizierter MS43-Code

Codetabelle des MMS43-Codes

Bei der ISDN–Datenübertragung wird in Deutschland und Belgien auf der so genannten $\rm {U_{K0}}$–Schnittstelle, die den Übertragungsweg zwischen Vermittlungsstelle und Wohnung beschreibt, der MMS43–Code (Modified Monitored Sum 4B3T ) eingesetzt. Hierbei handelt es sich um einen 4B3T–Code mit vier Codetabellen, die gemäß der laufenden digitalen Summe (nach $l$–Blöcken)

$${\it \Sigma}_l = \sum_{\nu = 1}^{3 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.02cm} a_\nu$$

zur Codierung herangezogen werden. Zur Initialisierung wird ${\it \Sigma}_{0} = 0$ verwendet.

Die Farbgebungen in der Tabelle bedeuten:

Ändert sich die laufende digitale Summe nicht $({\it \Sigma}_{l+1} = {\it \Sigma}_{l})$, so ist ein Feld grau hinterlegt.
Eine Zunahme $({\it \Sigma}_{l+1} > {\it \Sigma}_{l})$ ist rot hinterlegt, eine Abnahme $({\it \Sigma}_{l+1} < {\it \Sigma}_{l})$ blau.
Je intensiver die Farbgebung, um so größer ist die Änderung.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes.

Die Binärsymbole werden in diesem Lerntutorial mit L („Low”) und H („High”) bezeichnet. Häufig findet man in der Literatur auch die Binärsymbole L und 0 (statt H). Manchmal entspricht aber auch L unserem H und 0 dem L.
Damit eine solche Verwirrung vermieden wird und die „0” nicht in beiden Alphabeten (binär und ternär) – dazu noch mit unterschiedlicher Bedeutung – auftritt, haben wir die zugegebenerweise etwas gewöhnungsbedürftige Nomenklatur verwendet. Wir sind uns durchaus bewusst, dass auch unsere Nomenklatur manche Leser verwirren wird.
Sie können die Ergebnisse mit dem Interaktionsmodul Prinzip der 4B3T–Codierung überprüfen.

Fragebogen

	4B3T ist immer besser als der redundanzfreie Binärcode.
	Das Sendesignal sollte wegen $H_{\rm K}(f=0) = 0$ gleichsignalfrei sein.
	Eine kleinere Schrittgeschwindigkeit erlaubt größere Kabellänge.

$a_{12} \ = \ $

$ {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l+1} = 0\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}{\it \Sigma}_{l} = 0) \ = \ $

$ {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l+1} = 2\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}{\it \Sigma}_{l} = 0) \ = \ $

$ {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l+1} = 0\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}{\it \Sigma}_{l} = 2) \ = \ $

	Gleiche Wahrscheinlichkeiten: ${\rm Pr}({\it \Sigma}_{l} = 0) = \text{...} = {\rm Pr}(\Sigma_{l} = 3)$.
	Es gilt ${\rm Pr}({\it \Sigma}_{l} = 0) = {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l} = 3)$ und ${\rm Pr}({\it \Sigma}_{l} = 1) = {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l} = 2)$.
	Die Extremwerte $({\it \Sigma}_{l} = 0$ und ${\it \Sigma}_{l} = 3)$ treten seltener auf als die inneren Werte $({\it \Sigma}_{l} = 1$ und ${\it \Sigma}_{l} = 2)$.

Musterlösung

(1) Richtig sind die Aussagen 2 und 3:

Die erste Aussage trifft dagegen nicht zu: Beispielsweise ergibt sich beim AWGN–Kanal (Additives Weißes Gaußsches Rauschen) mit einem 4B3T–Code im Vergleich zum redundanzfreien Binärcode eine deutlich größere Fehlerwahrscheinlichkeit aufgrund der ternären Entscheidung. Der wesentliche Grund für die Verwendung eines redundanten Übertragungscodes ist vielmehr, dass über einen „Telefonkanal” kein Gleichsignalanteil übertragen werden kann.
Die um $25 \%$ kleinere Schrittgeschwindigkeit $(1/T)$ des 4B3T–Codes gegenüber dem redundanzfreien Binärcode kommt ebenfalls den Übertragungseigenschaften von symmetrischen Kupferleitungen (starker Dämpfungsanstieg mit der Frequenz) entgegen. Bei gegebener Leitungsdämpfung lässt sich mit dem 4B3T–Code eine größere Länge überbrücken als mit einem redundanzfreien Binärsignal.

Markovdiagramm für den MMS43-Code

(2) Die 4B3T–Codierung ergibt mit dem Initialwert ${\it\Sigma}_{0} = 0$:

HHLL ⇒ $+ + + \hspace{0.2cm}({\it\Sigma}_{1} = 3)$,
LHLL ⇒ $– + 0 \hspace{0.2cm}({\it\Sigma}_{2} = 3)$,
LHHL ⇒ $– – + \hspace{0.2cm}({\it\Sigma}_{3} = 2)$,
HLHL ⇒ $+ – – \hspace{0.2cm}({\it\Sigma}_{4} = 1)$.

Der gesuchte Amplitudenkoeffizient ist somit $a_{12} \ \underline{= -\hspace{-0.05cm}1}$.

(3) Aus der Farbgebung der Codetabelle kann das Markovdiagramm ermittelt werden. Daraus kann man die gesuchten Übergangswahrscheinlichkeiten ablesen:

$$ {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l+1} = 0\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}{\it \Sigma}_{l} = 0) = 6/16 \ \underline{= 0.375},$$

$$ {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l+1} = 2\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}{\it \Sigma}_{l} = 0) = 0)= 3/16 \ \underline{= 0.1875},$$

$$ {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l+1} = 0\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}{\it \Sigma}_{l} = 2) \ \underline{= 0}.$$

(4) Richtig sind die Aussagen 2 und 3:

Die Aussage 1 ist falsch, erkennbar an den Asymmetrien im Markovdiagramm.
Dagegen gibt es Symmetrien bezüglich der Zustände „$0$” und „$3$” sowie zwischen „$1$” und „$2$”.
In der folgenden Berechnung schreiben wir anstelle von $ {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l} = 0$ vereinfachend $ {\rm Pr}(0)$.
Unter Ausnutzung der Eigenschaft ${\Pr}(3) = {\Pr}(0)$ und ${\Pr}(2) = {\Pr}(1)$ ergibt sich aus dem Markovdiagramm::

$${\rm Pr}(0)= {6}/{16} \cdot {\rm Pr}(0) +{4}/{16} \cdot {\rm Pr}(1)+ {1}/{16} \cdot {\rm Pr}(3)\hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{9}/{16} \cdot {\rm Pr}(0)= {4}/{16} \cdot {\rm Pr}(1)$$

Aus der weiteren Bedingung ${\Pr}(0) + {\Pr}(1) = 1/2$ folgt weiter:

$${\rm Pr}(0)= {\rm Pr}(3)= {9}/{26}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(1)= {\rm Pr}(2)= {4}/{26}\hspace{0.05cm}.$$

Diese Berechnung basiert auf der „Summe der ankommenden Pfeile im Zustand $0$”.

Man könnte auch Gleichungen für die drei anderen Zustände angeben, die aber alle zum gleichen Ergebnis führen:

$${\rm Pr}(1) = \ {6}/{16} \cdot {\rm Pr}(0) + {6}/{16} \cdot {\rm Pr}(1)+ {6}/{16} \cdot {\rm Pr}(2)+{3}/{16} \cdot {\rm Pr}(3)\hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm Pr}(2) = \ {3}/{16} \cdot {\rm Pr}(0) +{6}/{16} \cdot {\rm Pr}(1)+{6}/{16} \cdot {\rm Pr}(2)+{6}/{16} \cdot {\rm Pr}(3)\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(3) = \ {1}/{16} \cdot {\rm Pr}(0) + {4}/{16} \cdot {\rm Pr}(2)+{6}/{16} \cdot {\rm Pr}(3)\hspace{0.05cm}.$$