Aufgabe 3.4: Trapezspektrum bzw. -impuls
Wir betrachten hier eine trapezförmige Spektralfunktion $X(f)$ gemäß der oberen Grafik, die durch die drei Parameter $X_0$, $f_1$ und $f_2$ vollständig beschrieben wird. Für die beiden Eckfrequenzen gelte stets $f_2 > 0$ und $0 \leq f_1 \leq f_2$.
Anstelle der Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ können auch die beiden folgenden Beschreibungsgrößen verwendet werden:
- $$\Delta f = f_1 + f_2,$$
- der so genannte Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich):
- $$r_{\hspace{-0.05cm}f} = \frac{ {f_2 - f_1 }}{ {f_2 + f_1 }}.$$
Mit diesen Größen lautet die dazugehörige Zeitfunktion (siehe mittlere Grafik):
- $$x( t ) = X_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi} \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi} \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot \Delta f\cdot t} ).$$
Hierbei ist $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$ die so genannte Spaltfunktion.
In diesem Beispiel sollen die Zahlenwerte $X_0 = 10^{–3}\,\text{V/Hz}$, $f_1 = 1\,\text{kHz}$ und $f_2 = 3\,\text{kHz}$ verwendet werden. Die Zeit $T = 1/\Delta f$ dient lediglich zu Normierungszwecken.
Ab Teilaufgabe (3) wird ein trapezförmiges Signal $y(t)$ betrachtet, das formgleich mit dem Spektrum $X(f)$ ist.
Als Beschreibungsgrößen können hier verwendet werden:
- die Impulsamplitude $y_0 = y(t = 0)$,
- die äquivalente Impulsdauer (definiert über das flächengleiche Rechteck):
- $$\Delta t = t_1 + t_2,$$
- der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) mit vergleichbarer Definition wie $r_{\hspace{-0.05cm}f}$:
- $$r_t = \frac{ {t_2 - t_1 }}{ {t_2 + t_1 }}.$$
Es gelte $y_0 = 4\,\text{V}$, $\Delta t = 1\,\text{ms}$ und $r_t = 0.5$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
- Verwenden Sie zur Lösung den Vertauschungssatz und den Ähnlichkeitssatz.
- Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden interaktiven Applets Impulse und Spektren sowie Frequenzgang und Impulsantwort überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
- $$\Delta f = f_1 + f_2 \hspace{0.15 cm}\underline{= 4\;{\rm{kHz}}}{\rm{.}}$$
- Für den Rolloff-Faktor gilt:
- $${ {r_{\hspace{-0.05cm}f} = }}\frac{ {f_2 - f_1 }}{ {f_2 + f_1 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.5}.$$
(2) Der Maximalwert des Impulses $x(t)$ tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf:
- $$x_0 = x(t = 0) = X_0 \cdot \Delta f \hspace{0.15 cm}\underline{= 4\, \text{V}}.$$
- Zum Zeitpunkt $t = T = 1/\Delta f$ gilt aufgrund von $\text{si}(\pi) = 0$:
- $$x( {t = T} ) = x_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$
- Auch bei allen Vielfachen von $T$ weist $x(t)$ Nulldurchgänge auf. Zum Zeitpunkt $t = T/2$ gilt:
- $$x( {t = T/2} ) = x_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( { { {\rm{\pi }}}/{4}} ) = x_0 \cdot \frac{ { 1 \cdot \sqrt 2 /2}}{ { {\rm{\pi /}}2 \cdot {\rm{\pi /4}}}} = x_0 \cdot \frac{ {4 \cdot \sqrt 2 }}{ { {\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
(3) Die zum trapezförmigen Spektrum $X(f)$ zugehörige Zeitfunktion lautet entsprechend der Angabe:
- $$x( t ) = X_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t} ).$$
- Da sowohl $X(f)$ als auch $x(t)$ reell sind und zudem $y(t)$ formgleich mit $X(f)$ ist, erhält man unter Berücksichtigung aller Äquivalenzen für die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
- $$Y( f ) = y_0 \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot r_t \cdot \Delta t \cdot f} ).$$
- Insbesondere gilt:
- $$Y( {f = 0} ) = y_0 \cdot \Delta t \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{,}}$$
- $$Y( {f = 0.5\;{\rm{kHz}}} ) = y_0 \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{4}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{,}}$$
- $$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = y_0 \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}\;{\rm{.}}$$
(4) Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ wird nicht verändert:
- $$Y_0 = y_0 \cdot \Delta t \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \,\rm{mV/Hz}}.$$
- Da nun aber die Zeitfunktion nur halb so breit ist, verbreitert sich das Spektrum um den Faktor $2$:
- $$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = Y_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{4}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\,{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
- In der Teilaufgabe (3) ist dieser Spektralwert bei der Frequenz $f = 0.5\,\rm{kHz}$ aufgetreten.
