Aufgabe 3.5: Differentiation eines Dreicksignals

Dreiecksignal $x(t)$ und
differenziertes Dreieck $y(t)$

Gesucht wird das Spektrum $Y(f)$ des Signals

$$y\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u}r}}} \\ \end{array}\;\begin{array}{*{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {{\rm{sonst}}{\rm{.}}} \\\end{array}$$

Dabei gelte $A = 1\,{\rm V}$ und $T = 0.5\,{\rm ms}$.

Als bekannt vorausgesetzt wird die Fouriertransformierte des oben skizzierten Dreieckimpulses $x(t)$, nämlich

$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} ),$$

wobei $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$ gilt.

Ein Vergleich der beiden Zeitsignale zeigt, dass zwischen den Funktionen $x(t)$ und $y(t)$ folgender Zusammenhang besteht:

$$y(t) = T \cdot \frac{{{\rm d}x(t)}}{{{\rm d}t}}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der Verschiebungssatz und der Differentiationssatz – werden im Lernvideo Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation an Beispielen verdeutlicht.
In der Teilaufgabe (3) soll das Spektrum $Y(f)$ ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls $r(t)$ mit Amplitude $A$ und Dauer $T$ sowie dessen Spektrum $R(f) = A \cdot T \cdot \text{si}(\pi fT)$ berechnet werden. Dies erreicht man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes.
In Aufgabe 3.5Z wird das gleiche Spektrum $Y(f)$ ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal mit Hilfe des Integratationssatzes berechnet.

Fragebogen

$|Y(f=0)| \hspace{0.2cm} = \ $

$\text{mV/Hz}$

$|Y(f=1 \ \text{kHz})| \ = \ $

$\text{mV/Hz}$

	Die Nullstellen von $X(f)$ bleiben auch in $Y(f)$ erhalten.
	Für große $f$–Werte genügt $Y(f)$ der gleichen Schranke wie $X(f)$.
	Für große $f$–Werte ist $\|X(f)\|$ kleiner als das Betragsspektrum eines Rechteckimpulses der Dauer $T$.

	Der Differentiationssatz führt schneller zum Ergebnis.
	Der Verschiebungssatz führt schneller zum Ergebnis.

Musterlösung

(1) Der Differentiationssatz lautet allgemein:

$$\frac{{{\rm d}x( t )}}{{{\rm d}t}}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{\rm{j}} 2{\rm{\pi }}f \cdot X( f ).$$

Angewandt auf das vorliegende Beispiel erhält man:

$$Y( f ) = T \cdot {\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}f \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{( {{\rm{\pi }}fT} )^2 }} = {\rm{j}} \cdot 2 \cdot A\cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$

Diese Funktion ist rein imaginär. Bei der Frequenz $f = 0$ verschwindet auch der Imaginärteil.
Dies kann man zum Beispiel durch Anwendung der Regel von l'Hospital formal nachweisen ⇒ $Y( f = 0 ) \;\underline{= 0}$.
Das Ergebnis folgt aber auch aus der Tatsache, dass der Spektralwert bei $f = 0$ gleich dem Integral über die Zeitfunktion $y(t)$ ist.
Bei der normierten Frequenz $f \cdot T = 0.5$ $($also für $f = 1\,\text{ kHz})$ ist die Sinusfunktion gleich $1$ und man erhält $|Y(f = 1 \,\text{kHz})| = 4/\pi \cdot A \cdot T$, also näherungsweise $|Y(f=1 \ \text{kHz})| \ \underline{=0.636 \,\text{ mV/Hz}}$ (positiv imaginär).

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Die Nullstellen von $X(f)$ bleiben erhalten und es gibt eine weitere Nullstelle bei der Frequenz $f = 0$.
Als asymptotischen Verlauf bezeichnet man die obere Schranke

$$\left| {Y_{\max }( f )} \right| = \frac{2A}{{{\rm{\pi }} \cdot |f|}} \ge \left| {Y( f )} \right|.$$

Für die Frequenzen, bei denen die Sinusfunktion die Werte $\pm 1$ liefert, sind $|Y_{\text{max}}(f)|$ und $|Y(f)|$ identisch.
Beim Rechteckimpuls der Amplitude $A$ lautet die entsprechende Schranke $A/(\pi \cdot |f|)$.
Dagegen fällt das Spektrum $X(f)$ des Dreieckimpulses asymptotisch schneller ab:

$$\left| {X_{\max }( f )} \right| = \frac{A}{{{\rm{\pi }}^{\rm{2}} f^2 T}} \ge \left| {X( f )} \right|.$$

Dies ist darauf zurückzuführen, dass $x(t)$ keine Unstetigkeitsstellen aufweist.

(3) Ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls $r(t)$ mit Amplitude $A$ und Dauer $T$ kann das Signal $y(t)$ auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = r( {t + T/2} ) - r( {t - T/2} ).$$

Durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes erhält man:

$$Y( f ) = R( f ) \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}fT} - R( f ) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT} .$$

Mit der Beziehung $\text{e}^{\text{j}x} – \text{e}^{–\text{j}x} = 2\text{j} \cdot \text{sin}(x)$ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$Y( f ) = 2{\rm{j}} \cdot A \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm{\pi }}fT} ) \cdot \sin ( {{\rm{\pi }}fT} ).$$

Es ergibt sich folgerichtig das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (1).

Welcher Weg schneller zum Ergebnis führt, muss jeder selbst für sich entscheiden.
Der Autor meint, dass der erste Weg etwas günstiger ist. Subjektiv entscheiden wir uns für den Lösungsvorschlag 1.