Aufgabe 3.5: PM und FM bei Rechtecksignalen
Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal $q(t)$ aus, wie im oberen Diagramm dargestellt. Dieses Signal kann nur die beiden Signalwerte $±A = ±2 \ \rm V$ annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils $T = 1 \ \rm ms$. Die Periodendauer von $q(t)$ ist demzufolge $T_0 = 2 \ \rm ms$.
Die Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation $\rm (WM)$, die jeweils in der Form
- $$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.05cm}\big [\psi (t) \big ]$$
darstellbar sind. Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation $\rm (PM)$ mit der Winkelfunktion
- $$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$
und der Frequenzmodulation $\rm (FM)$, bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt:
- $$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
$K_{\rm PM}$ und $K_{\rm FM}$ bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante. Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation.
- Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als Phase Shift Keying $\rm (PSK)$ und entsprechend die Frequenzmodulation als Frequency Shift Keying $\rm (FSK)$ bezeichnet.
Fragebogen
Musterlösung
- Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf $s_2(t)$.
- Die Frequenzmodulation (FM) hat dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei $s_1(t)$.
(2) Mit $q(t) = 0$ erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM
- $$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ kann direkt nur aus dem PM–Signal $s_2(t)$ ermittelt werden.
- Durch Abzählen der Schwingungen von $s_2(t)$ im Zeitintervall $T$ erkennt man, dass $f_{\rm T} · T\hspace{0.15cm}\underline{ = 6}$ verwendet wurde.
- Bei der Frequenzmodulation eines bipolaren Quellensignals tritt $f_{\rm T}$ nicht direkt auf.
- Die Grafiken lassen allerdings darauf schließen, dass hier ebenfalls $f_{\rm T} · T = 6$ zugrunde liegt.
(4) Der Amplitudenwert $A = 2 \ \rm V$ führt zur Phase $90^\circ$ bzw. $π/2$ (Minus–Sinusverlauf). Daraus folgt:
- $$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Die Grafik für $s_1(t)$ zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls $T$ entweder vier oder acht Schwingungen auftreten: $4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$
- Unter Berücksichtigung der (normiertern) Trägerfrequenz $f_{\rm T} · T = 6$ ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub:
- $$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$
(6) Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden:
- $$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$
- Mit $Δf_{\rm A} · {\rm A} = 2$ erhält man somit:
- $$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$