Gaußimpulse $x(t)$ und $h(t)$
Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten
- einen gaußförmigen Eingangsimpuls ${x(t)}$ mit Amplitude $x_0 = 1\,\text{V}$ und äquivalenter Dauer $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$, sowie
- eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$ aufweist:
- $$x( t ) = x_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$
- $$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$
Gesucht ist das Ausgangssignal ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Durch Fouriertransformation erhält man:
- $$X( f ) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \right)^2 } .$$
- Die gesuchten Werte sind
- $$X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}},$$
- $$H(f = 0)\; \underline{= 1}.$$
Gaußspektren $X(f)$ und $Y(f)$ – Gaußimpulse $x(t)$ und $y(t)$
(2) Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
- $$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
- Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann man hierfür schreiben:
- $$Y(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } .$$
- Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:
- $$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{ mV/Hz}}.$$
- Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und schmaler als ${H(f)}$.
(3) Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:
- $${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
- Damit erhält man:
- $$y(t) = x(t) * h(t) = x_0 \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
- Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 \text{ V} }$.
- Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$ (siehe obiges Grafik, rechte Skizze).
- Das bedeutet: Das Gaußfilter ${H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls ${y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls ${x(t)}$ ist.
- Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig, weil: Gauß gefaltet mit Gauß ergibt immer Gauß!
