Aufgabe 4.11: On-Off-Keying und Binary Phase Shift Keying
Die Grafik zeigt Signalraumkonstellationen für trägermodulierte Modulationsverfahren:
- "On–Off–Keying" $\rm (OOK)$, in manchen Büchern auch als "Amplitude Shift Keying" $\rm (ASK)$ bezeichnet,
- "Binary Phase Shift Keying" $\rm (BPSK)$.
Für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit gehen wir vom AWGN–Kanal aus. In diesem Fall ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (bezogen auf Symbole oder auf Bit gleichermaßen):
- $$p_{\rm S} = p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnet
- $d$ den Abstand der Signalraumpunkte, und
- $\sigma_n^2 = N_0/2$ die Varianz des AWGN–Rauschens.
In den Teilfragen ab Teilaufgabe (3) wird zudem auf die mittlere Symbollenergie $E_{\rm S}$ Bezug genommen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation".
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel "Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation" sowie das Kapitel "Lineare digitale Modulation" des Buches „Modulationsverfahren”.
- Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende Näherung:
- $${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$\underline{b = 1 }\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{M = 2} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, erkennbar an der imaginären Basisfunktion $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
- Bei Beschreibung im Bandpassbereich wären die Basisfunktionen reell: cosinusförmig und (minus–)sinusförmig.
(3) Die vorgegebene Gleichung lautet bei "On–Off–Keying" mit
- $d = \sqrt {E}$,
- $E_{\rm S} = E/2$ (wobei gleichwahrscheinliche Symbole $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ vorausgesetzt sind),
- $\sigma_n^2 = N_0/2$:
- $$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E}/2}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ \frac{ E/2}{ N_0} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
- Für $E_{\rm S}/N_0 = 9 = 3^2$ ergibt sich somit:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 3} \cdot {\rm e}^{-9/2} = \underline{14.8 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
- Entsprechend gilt für $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm S}/N_0) = 12 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 = 15.85$:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{15.85}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 15.85} } \cdot {\rm e}^{-15.85/2} = \underline{0.362 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Im Unterschied zur Teilaufgabe (3) gilt bei "Binary Phase Shift Keying":
- $d = 2 \cdot \sqrt {E}$,
- $E_{\rm S} = E$,
beides sogar unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten für $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$.
- Daraus folgt:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
- Mit $E_{\rm S}/N_0 = 9$ ergibt sich daraus der Zahlenwert:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{18}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 18} } \cdot {\rm e}^{-18/2} = \underline{117 \cdot 10^{-8}} \hspace{0.05cm}.$$
- Und mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ \rm dB$ ⇒ $2E_{\rm S}/N_0 = 31.7$:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{31.7}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 31.7} } \cdot {\rm e}^{-31.7/2} = \underline{0.926 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$
