Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN

Kanalmodelle „BSEC” und „AWGN”

Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:

Binary Symmetric Channel $\rm (BSC)$,
Binary Erasure Channel $\rm (BEC)$,
Binary Symmetric Error & Erasure Channel $\rm (BSEC)$.

Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich zwei andere Kanalmodelle ableiten:

Mit $λ = 0$ ergibt sich das BSC–Modell.
Mit $\varepsilon = 0$ ergibt sich das BEC–Modell.

Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem diskreten BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm $n$ gilt:

$$y_{\rm A} = \tilde{x}+ n.$$

Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt:

$\tilde{x} = +1$, falls $x = 0$,
$\tilde{x} = -1$, falls $x = 1$.

Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße $y \in \{0,\ 1,\ \rm E\}$, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen $G_0$ und $G_1$ benötigt.

Das Ereignis $y = \rm E$ („"Erasure"”) sagt aus, dass die Entscheidung so unsicher ist, dass als Ergebnis weder $y = 0$ noch $y = 1$ gerechtfertigt erscheint. In deutschen Fachbüchern spricht man von einer "Auslöschung".

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen".

Die Streuung des AWGN–Rauschens $n$ wird für die gesamte Aufgabe zu $\sigma = 0.4$ angenommen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $n$ größer ist als $A$ oder kleiner als $–A$, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$ wie folgt:

$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$

Bitte beachten Sie weiter: Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ eigentlich nicht möglich.

Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann $\varepsilon \le 0.5 · 10^{-4}=0.005\%$ durch $\varepsilon \approx 0$ angenähert werden.

Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:

$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50.0\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \hspace{0.3cm} 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

	Eine Entscheiderschwelle bei $G = 0$.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei $±G$.
	Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.

$\varepsilon \ = \ $

$\ \%$

	Eine Entscheiderschwelle bei $G = 0$.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei $±G$.
	Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.

$\varepsilon \ = \ $

$ \ \%$

$\lambda \ = \ $

$ \ \%$

	Eine Entscheiderschwelle bei $G = 0$.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei $±G$.
	Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.

$\lambda \ = \ $

$ \ \%$

Musterlösung

(1) Richtig ist die Antwort 1:

Das BSC–Modell basiert auf einer einzigen Entscheiderschwelle. Wegen der Eigenschaft "symmetric" liegt diese bei $G = 0$.

(2) Die Wahrscheinlickeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$ größer ist als $+1$ oder kleiner ist als $–1$, ergibt sich gemäß der Angabe zu $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$.

Mit $\sigma= 0.4$ folgt daraus: $\varepsilon = {\rm Q}(2.5) \ \underline { = 0.62\, \%}.$

(3) Richtig ist hier die Antwort 2:

Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete, je eines für die Symbole $0$ und $1$ und ein weiteres für "Erasure" $(\rm E$: keine Entscheidung möglich$)$.
Dazu benötigt man zwei Schwellen, die symmetrisch um $0$ liegen müssen.
Wenn dem nicht so wäre, ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole $0$ und $1$.

(4) Es gelte $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$. Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm

$n > +1.2$, falls $\tilde{x} = -1$ ⇒ $x = 1$,
$n < -1.2$, falls $\tilde{x} = +1$ ⇒ $x = 0$.

In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit:

$$ε = {\rm Q}(1.2/0.4) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm} \underline{=0.14 \%}.$$

Ein "Erasure" (keine Entscheidung) ergibt sich für $–0.2 < y_{\rm A} < +0.2$.
Ausgehend von $\tilde{x} = -1$ gilt somit:

$$\lambda \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = {\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Hier ist ebenfalls die Antwort 2 richtig:

Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um $0$ symmetrische Schwellen.
Der Unterschied zum BSEC–Modell ist, dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ $($genauer gesagt: $\varepsilon < 0.5 · 10^{–4})$ ergibt, entweder, weil

der Sicherheitsbereich $(±G)$ größer gewählt ist als beim BSEC–Modell, oder
das AWGN–Rauschen eine kleinere Streuung $σ$ aufweist.

(6) Beim BEC–Modell ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit vernachlässigbar:

$$\varepsilon = {\rm Q}(1.6/0.4) = {\rm Q}(4)\approx 0.32 \cdot 10^{-4} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: Man kann hier tatsächlich vom BEC–Modell ausgehen.
Für die "Erasure"–Wahrscheinlichkeit gilt dabei:

$${\it \lambda} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.4 < n < 1.6) = {\rm Pr}(n > 0.4) - {\rm Pr}(n > 1.6) ={\rm Q}(1) - {\rm Q}(4) \approx {\rm Q}(1) \hspace{0.15cm} \underline {= 15.87\,\%} \hspace{0.05cm}.$$