Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass

Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass

Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal $x(t) = T \cdot \delta(t)$ aus, so dass $X(f) = T$ gilt.

Das Ausgangsspektrum $Y(f)$ ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:

$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$

Dieser Frequenzgang wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):

Für $f \cdot T \ge 1$ ist $H(f) = 0$.
Im inneren Bereich gilt $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$

Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/{\Delta t}$ ist. Damit erhält man für die äquivalente ${\Delta t}$ der Impulsantwort ebenfalls $T$ und und es gilt:

$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$

Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal $y(t)$ im Gegensatz zur Impulsantwort $h(t)$ ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \big[ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right) \big)+ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right) \big)\big].$$

Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.

Für die Teilaufgabe (3) soll vorausgesetzt werden, dass das Signal $s(t)$ in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen $H_{\rm S}(f)$ und $H_{\rm S}(f)$ ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:

$$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Cosinus–Rolloff–Tiefpass.
Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet Frequenzgang und Impulsantwort überprüfen.

Fragebogen

$y(t = 0) \ = \ $

$y(t = T) \ = \ $

$y(t = 0.5 T) \ = \ $

$y(t = 1.5 T) \ = \ $

$y(t = 10.75 T) \ = \ $

$ \ \cdot \ 10^{-6}$

$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=0.5/T) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=1/T) \ = \ $

Musterlösung

(1) Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der $\rm si$–Funktion direkt $y(t = 0) = 1$ und $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.

Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise

$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] {\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$

$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Ausgangssignal des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses

(2) Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:

$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rm si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$

Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:

$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$

In analoger Weise ergibt sich für $t = 1.5T$:

$$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt.
Auch zu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.

(3) Für große Werte von $t$ gilt näherungsweise (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt):

$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T )}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi \cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$ ist.
Zum Zeitpunkt $t = 10.75 T$ gilt dann:

$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32 \cdot 10^{-6}}.$$

Gesuchter Empfängerfrequenzgang

(4) Der Empfängerfrequenzgang lautet für $|f \cdot T| \le 1$:

$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$

Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:

$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$

$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$

$$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden. Das haben wir auch gemacht, nur nicht in dieser Musterlösung.