Aufgabe 3.1: Analyse eines Faltungscodierers

Vorgegebener Faltungscodierer

Wir betrachten den skizzierten Faltungscodierer und gehen von folgender Informationssequenz aus:

$$\underline{\it u} = \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...} \big )\hspace{0.05cm}.$$

Diese Sequenz wird auf drei Stränge aufgeteilt:

$$\underline{\it u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \big )\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{\it u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \big )\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{\it u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...} \big )\hspace{0.05cm}.$$

Die zum Zeitpunkt $i$ am Coder anliegenden Bits werden mit $u_i^{\rm (1)}$, $u_i^{\rm (2)}$ und $u_i^{\rm (3)}$ bezeichnet. Beispielsweise gilt $u_1^{\rm (1)} = 0$, $u_2^{\rm (2)} = 1$ sowie $u_3^{\rm (3)} = 1$.

In dieser Aufgabe sollen ermittelt werden:

die Anzahl $k$ der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,

die Anzahl $n$ der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,

die Gedächtnisordnung $($oder kurz: das Gedächtnis$)$ $m$,

die Gesamteinflusslänge $($oder kurz: Einflusslänge$)$ $\nu$.

Außerdem sollen Sie für die angegebene Informationssequenz $\underline {u}$ die Codesymbole $x_i^{(1)}$, $x_i^{(2)}$, $x_i^{(3)}$ und $x_i^{(4)}$ für die Taktzeitpunkte $i = 1$ und $i = 3$ bestimmen. Dabei ist vorauszusetzen, dass alle Speicherelemente zu Beginn mit Nullen belegt waren.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel "Grundlagen der Faltungscodierung".

Der Vollständigkeit halber werden hier auch die Codebits zum Taktschritt $i = 2$ angegeben:

$$x_2^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_2^{(2)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_2^{(3)} = 0 ,\hspace{0.4cm}x_2^{(4)} = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Diese letzte Angabe wird zur Lösung der Aufgabe allerdings nicht benötigt.

Fragebogen

$k \ = \ $

$n \ = \ $

$m \ = \ $

$\nu \ = \ $

$x_1^{(1)} \ = \ $

$x_1^{(2)} \ = \ $

$x_1^{(3)} \ = \ $

$x_1^{(4)} \ = \ $

$x_3^{(1)} \ = \ $

$x_3^{(2)} \ = \ $

$x_3^{(3)} \ = \ $

$x_3^{(4)} \ = \ $

Musterlösung

(1) Zu jedem Takt werden $\underline {k = 3}$ neue Informationsbits verarbeitet und $\underline {n = 4}$ Codebits ausgegeben.

(2) Wir bezeichnen hier die Einflusslängen der Informationssequenzen $\underline{u}^{(j)}$ mit $\nu_j$, wobei $1 ≤ j ≤ k = 3$ zu setzen ist. Dann gilt:

$$\nu_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.15cm}{\rm (f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}die \hspace{0.15cm}erste \hspace{0.15cm}Sequenz \hspace{0.15cm}ist \hspace{0.15cm}kein \hspace{0.15cm}Schieberegister \hspace{0.15cm}n\ddot{o}tig)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \nu_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\nu_3 = 2\hspace{0.05cm}.$$

Die Gedächtnisordnung $m$ $($oder kurz: das Gedächtnis$)$ des Coders ist durch das längste Schieberegister gegeben ⇒ $\underline {m = 2}$.

Die Gesamteinflusslänge $($oder kurz: Einflusslänge$)$ entspricht der Anzahl der Speicherelemente der gesamten Codiererschaltung ⇒ $\underline {\nu = 3}$.

Vorgegebener Faltungscodierer

(3) Allgemein gilt für die $n = 4$ Codebits zum Schritt $i$:

$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} \hspace{0.05cm},$$

$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$

$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-1}^{(2)} + u_{i-2}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$

$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$

Im ersten Codierschritt sind alle Speicherelemente mit Nullen belegt.

Deshalb kann man für $i = 1$ auf alle Bits mit den Indizes $i \, –1$ bzw. $i \, –2$ verzichten.

Entsprechend der Angabe soll weiter gelten: $u_1^{(1)} = 0$, $u_1^{(2)} = 1$, $u_1^{(3)} = 1$.

Damit erhält man durch Modulo–2–Addition:

$$x_1^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm},$$

$$x_1^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} = 0+1 \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},$$

$$x_1^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)}= 1 + 1 \hspace{0.15cm}\underline {=0}\hspace{0.05cm},$$

$$x_1^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)}= 0+1+1\hspace{0.15cm}\underline {=0}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Im Codierschritt $i = 3$ lauten die Informationsbits:

$$u_i^{(1)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(1)} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(1)} = 0\hspace{0.05cm},$$

$$u_i^{(2)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(2)} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(2)} = 1\hspace{0.05cm},$$

$$u_i^{(3)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(3)} = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(3)} = 1\hspace{0.05cm},$$

woraus sich folgende Codebits ergeben:

$$x_3^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(2)} = 1+0+1+0\hspace{0.15cm}\underline {=0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(3)}= 0+1+1+1 \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(4)} = 1+0+1+1\hspace{0.15cm}\underline {=1}\hspace{0.05cm}.$$

⇒ Die Codebits im Codierschritt $i = 2$ wurden bereits auf der Angabenseite genannt. Hier folgt noch die Herleitung:

$$x_2^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},$$

$$x_2^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)} = 1+1+1+1 = 0 \hspace{0.05cm},$$

$$x_2^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(2)} + u_{2}^{(3)}+ u_{1}^{(2)} + u_{0}^{(3)} = 1+0+1+(0) = 0\hspace{0.05cm},$$

$$x_2^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{2}^{(3)}+ u_{0}^{(3)}= 1+1+0+(0) = 0\hspace{0.05cm}.$$

Somit beginnt die Codesequenz $\underline {x}$ $($nach dem Multiplexing$)$ mit $(0100, 1000, 1011, \ \text{...})$.

Die Gruppierung wurde hier nur aus Gründen der Übersichtlichkeit vorgenommen.