Aufgabe 3.7Z: Error Performance
Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote $\rm (BER)$ einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen „Error Performance” spezifiziert sind.
Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:
- Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens $99.8\%$ aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen.
- Bei einer Bitrate von $\text{64 kbit/s}$ entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde $($und somit bei $N = 64\hspace{0.08cm}000$ übertragenen Symbolen$)$ nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten dürfen:
- $$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen.
- Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus.
- In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.08cm}000$.
- Unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – kann die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
- Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4).
Fragebogen
Musterlösung
- Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$ handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße: Summe über $N$ Binärwerte $(0$ oder $1)$.
- Da das Produkt $N \cdot p = 64$ und dadurch sehr viel größer als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angenähert werden.
(2) Der Mittelwert ergibt sich zu $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$ unabhängig davon, ob man von der Binomial– oder der Poissonverteilung ausgeht.
(3) Für die Streuung erhält man
- $$\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$$
- Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.05\%$.
(4) Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$ mit Mittelwert $m_f {= 64}$ ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$. Anmerkung:
- Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $50\%$.
- Da $f$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.
(5) Mit $\lambda = N \cdot p$ lautet die entsprechende Bedingung:
- $$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
- Der Maximalwert von $\lambda$ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
- $$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
- Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist somit:
- $$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it p}_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$
- Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
