Aufgabe 4.3Z: Diracförmige 2D-WDF
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Betrachtete diracförmige 2D-WDF
In der Grafik ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{xy}(x, y)$ der zwei diskreten Zufallsgrößen $x$ und $y$ dargestellt.
- Diese 2D–WDF besteht aus acht Diracpunkten, durch Kreuze markiert. Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
- Es ist zu erkennen, dass sowohl $x$ als auch $y$ alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen $-2$ und $+2$ annehmen können.
- Die Varianzen der beiden Zufallsgrößen sind wie folgt gegeben: $\sigma_x^2 = 2$, $\sigma_y^2 = 1.4$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die beiden ersten Antworten:
- Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ erhält man aus der 2D–WDF $f_{xy}(x, y)$ durch Integration über $y$.
- Für alle möglichen Werte $ x \in \{-2, -1, \ 0, +1, +2\}$ sind die Wahrscheinlichkeiten gleich $0.2$.
- Es gilt ${\rm Pr}(x \le 1)= 0.8$ und der Mittelwert ist $m_x = 0$.
Diskrete Rand–WDF $f_{y}(y)$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Durch Integration über $x$ erhält man die rechts skizzierte WDF $f_{y}(y)$.
- Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert $m_y = 0$.
- Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(y \le 1)= 0.9$.
(3) Definitionsgemäß gilt:
- $$F_{xy}(r_x, r_y) = {\rm Pr} \big [(x \le r_x)\cap(y\le r_y)\big ].$$
- Für $r_x = r_y = 1$ folgt daraus:
- $$F_{xy}(+1, +1) = {\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ].$$
- Wie aus der 2D–WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ]\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.
(4) Hierfür kann mit dem Satz von Bayes auch geschrieben werden:
- $$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr\big [(\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1)\big ]}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy} \rm (1, \rm 1)}{F_{y}\rm (1)}.$$
- Mit den Ergebnissen aus (2) und (3) folgt daraus $ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = 0.8/0.9 = 8/9 \hspace{0.15cm}\underline{=0.889}$.
(5) Entsprechend der Definition gilt für das gemeinsame Moment:
- $$m_{xy} = {\rm E}\big[x\cdot y \big] = \sum\limits_{i} {\rm Pr}( x_i \cap y_i)\cdot x_i\cdot y_i. $$
- Es verbleiben fünf Diracfunktionen mit $x_i \cdot y_i \ne 0$:
- $$m_{xy} = \rm 0.1\cdot (-2) (-1) + 0.2\cdot(-1) (-1)+ 0.2\cdot 1\cdot 1 + 0.1\cdot 2\cdot 1+ 0.1\cdot 2\cdot 2\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.2}.$$
2D-WDF und Korrelationsgerade $y = K(x)$
(6) Für den Korrelationskoeffizienten gilt:
- $$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.717}.$$
- Hierbei ist berücksichtigt, dass wegen $m_x = m_y = 0$ die Kovarianz $\mu_{xy}$ gleich dem Moment $m_{xy}$ ist.
- Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet:
- $$y=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot \rho_{xy}\cdot x = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x^{\rm 2}}\cdot x = \rm 0.6\cdot \it x.$$
- Im Bild ist die Gerade $y = K(x)$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen Korrelationsgerade und $x$-Achse beträgt
- $$\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x} = \arctan(0.6) \hspace{0.15cm}\underline{=31^\circ}.$$
(7) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Bei statistischer Unabhängigkeit müsste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$ gelten, was hier nicht erfüllt ist.
- Aus der Korreliertheit $($folgt aus $\rho_{xy} \ne 0)$ kann direkt auf die statistische Abhängigkeit geschlossen werden,
- denn Korrelation bedeutet eine Sonderform der statistischen Abhängigkeit, nämlich die lineare statistische Abhängigkeit.
