Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung

Digitales Filter erster Ordnung

Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $b_1$, die jeweils Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen können.

Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1” ⇒ $x(t) = \delta(t)$, was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:

$$\left\langle {\hspace{0.05cm}x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$

Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge $\left\langle {\hspace{0.05cm}y_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$ am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort $\left\langle {\hspace{0.05cm}h_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$ des Filters. Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter.
Das Applet "Digitale Filter" verdeutlicht den Themenkomplex dieses Kapitels.

Fragebogen

	Der Sonderfall $b_1 = 1$ führt zu einem nichtrekursiven Filter.
	Mit $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0$ gilt $y(t) = x(t)$.
	Mit $a_0 = 0$, $a_1 = 0.5$ und $b_1 = 0$ ist $y(t)$ gegenüber $x(t)$ unverzerrt.

$y_3 \ = \ $

$M \ = \ $

$y_3 \ = \ $

Musterlösung

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt: $b_1 = 0$.
Sind zusätzlich $a_0 = 1$ und $a_1 = 0$, so sind die Folgen $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ und $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ und damit natürlich auch die Signale $x(t)$ und $y(t)$ gleich.
Mit $a_0 = 0$ und $a_1 = 1$ ist $y(t) = x(t-T_{\rm A})$ um $T_{\rm A}$ verzögert, mit $a_1 = 0.5$ zusätzlich gedämpft.
Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge.

(2) Zum Zeitpunkt $\nu = 0$ ist $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$.

Für alle weiteren Zeitpunkte $\nu$ gilt $x_{\nu} = 0$ und somit auch:

$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$

Insbesondere ist $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$.

(3) Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten:

$$y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$$

Dies führt zum Ergebnis:

$$M + 1 \ge \frac{{\lg \ \left( {0.001} \right)}}{{\lg \ \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$

Die Überprüfung der Werte $y_{13} \approx 0.0013$ und $y_{14} \approx 0.0008$ bestätigt dieses Ergebnis.

(4) Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis,

wenn man das Filter gegenüber der Teilaufgabe (2) nicht verändert $(a_1 = 0)$
und dafür die Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;\text{...} } \right\rangle$ berücksichtigt.

Man erhält dann allgemein für $\nu \gt 0$:

$$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$

Mit $b_1 = 0.6$ und $a_1 = -0.5$ ergibt sich daraus $y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1}$, und somit die Folge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;\text{...} } \right\rangle .$

Der gesuchte Wert ist demnach $y_3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$.