Aufgabe 5.4: Vergleich von Rechteck- und Hanningfenster

Beispiele für die Spektralanalyse

Gegeben sei der prinzipielle Zeitverlauf eines periodischen Signals:

$$x(t) = A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.

Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.

Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für $|t| > T_{\rm P}/2$ jeweils Null sind:

Das Rechteckfenster:

$${w} (\nu) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

$$W(f) ={1}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$

das Hanning–Fenster:

$${w} (\nu) = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

$$W(f) ={0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f}{f_{\rm A}})+ {0.25}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ {0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$

$W(f)$ ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.

In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf

$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm 1\,\,{\rm kHz})+ 0.5\,\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm 1.125\,\,{\rm kHz}) \hspace{0.05cm}.$$

In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.

Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrunde gelegt, für das andere das Hanning–Fenster.
Nicht angegeben wird, welche Grafik zu welchem Fenster gehört.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Spektralanalyse.
Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist.
Unglücklichweise kollidieren die Indizes von $f_{\rm A}$ und $Y_{\rm A}(f)$. Es ist offensichtlich, dass diese nicht in Zusammenhang stehen. Nur zur Sicherheit weisen wir darauf hin.

Fragebogen

	Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
	Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
	Es wurde der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$ verwendet.
	Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem tatsächlichen Spektrum $X(f)$.

$G(f_1 = 1.000 \ \text{kHz})\ = \ $

$\text{V}$

$G(f_2 = 1.125 \ \text{kHz})\ = \ $

$\text{V}$

	$Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich bei Rechteckfensterung.
	$Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.

Musterlösung

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet ⇒ es wurde das Rechteckfenster verwendet.
Mit $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$. Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: die dritte Aussage ist falsch.

Signal $y(t)$ nach Rechteck–Fensterung

Wie aus der Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung ${\rm P}\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_{\rm P}/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt:
Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.

(2) Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$ setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$

aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen
und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen

zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:

$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:

Signal $y(t)$ nach Hanning–Fensterung

$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm V}, \\ G(f = f_1 = 1.000\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.5 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.625\, {\rm V}}, \\ G(f = f_2 = 1.125\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.5 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.500\, {\rm V}}, \\ G(f = 1.250\,{\rm kHz}) & = 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.125\, {\rm V} \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Die Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.
(3) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_{\rm P}$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist.
In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet. In diesem Fall ergibt sich das gemessene Spektrum $Y_{\rm B}(f)$.
Aus dem Spektrum $Y_{\rm C}(f)$ ist die gesuchte $1\ \rm kHz$–Linie schlechter zu erkennen. Dieses Spektrum $Y_{\rm C}(f)$ ergibt sich nach Rechteck–Fensterung.