Aufgabe 5.8Z: Matched-Filter bei Rechteck-Störleistungsspektrum

Nutzsignal–Spektrum $G(f)$ und LDS ${\it \Phi}_n (f)$ der Störung

Die bei einem System wirksame Störleistungsdichte kann als bereichsweise konstant angenommen werden:

$$\it{\Phi} _n \left( f \right) = \left\{ \begin{array}{l} N_0 /2 \\ N_1 /2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} \rm{f\ddot{u}r} \\ \rm{f\ddot{u}r} \\\end{array}\quad \begin{array}{*{20}c} {\left| f \right| \le f_{\rm N} ,} \\ {\left| f \right| > f_{\rm N} .} \\\end{array}$$

Hierbei sei die Störleistungsdichte $N_1$ im äußeren Bereich $|f| > f_{\rm N}$ stets sehr viel kleiner als $N_0$.
Verwenden Sie zum Beispiel die folgenden Werte:

$$N_0 = 2 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} /{\rm{Hz}},\quad N_1 = 2 \cdot 10^{ - 8} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$

Ein solches Störsignal $n(t)$ tritt zum Beispiel auf, wenn die dominante Störquelle nur Anteile unterhalb der Grenzfrequenz $f_{\rm N}$ beinhaltet. Aufgrund des unvermeidbaren thermischen Rauschens ist auch für $|f| > f_{\rm N}$ die Störleistungsdichte ${\it \Phi}_n(f) \ne 0$.

Weiter gelte:

Das Spektrum $G(f)$ des Nutzsignals sei entsprechend der obigen Skizze ebenfalls rechteckförmig.
Der zugehörige Nutzimpuls $g(t)$ hat deshalb mit $\Delta f = 2 \cdot f_{\rm G}$ den folgenden Verlauf:

$$g(t) = G_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} \left( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta f \cdot t} \right).$$

Das Empfangsfilter sei optimal an das Nutzspektrum $G(f)$ und das Störleistungsdichtespektrums ${\it \Phi}_n(f)$ angepasst.
Das heißt, das Empfangsfilter entspricht dem Matched-Filter-Kriterium: $H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f)$.
Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend $T_{\rm D} = 0$ (akausale Systembeschreibung).

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Matched-Filter.
Verwenden Sie für numerische Berechnungen stets die Zahlenwerte

$$G_0 = 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{, }}\quad \Delta f = 10\;{\rm{kHz}}.$$

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Für alle Frequenzen $|f| > f_{\rm G}$, bei denen das Nutzsignal Spektralanteile besitzt $(G_d(f) \ne 0)$, ist das Störleistungsdichtespektrum ${\it}\Phi_n(f) = N_0/2$.
Damit lautet der Frequenzgang des Matched-Filters, $T_{\rm D} = 0$ vorausgesetzt:

$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G(f).$$

Der optimale Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ ist in diesem Fall ebenso wie $G(f)$ rechteckförmig mit Breite $\Delta f$.
Für den Nutzanteil des MF-Ausgangssignals gilt somit:

$$d_{\rm S}(t)\quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \quad G(f) \cdot H_{\rm MF} (f).$$

Das Produkt zweier Rechteckfunktionen gleicher Breite ergibt wiederum eine Rechteckfunktion.
Daraus folgt weiter, dass der Ausgangsimpuls des Matched-Filters ebenfalls $\rm si$-förmig verläuft.

(2) Bei weißem Rauschen erhält man:

$$\rho _d = \frac{1}{N_0 /2}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {G(f)} \right|^2 \, {\rm{d}}f.}$$

Das Integral liefert den Wert $G_0^2 \cdot \Delta f$. Daraus folgt:

Zur Teilaufgabe (3)

$$\rho _d = \frac{G_0 ^2 \cdot \Delta f }{N_0 /2} = \frac{ 10^{ - 8}\,(\rm V/Hz)^2 \;\cdot10^4 \;{\rm{Hz}} }{10^{ - 6}\,\rm V^2/Hz} = 10^2 \quad \Rightarrow \quad 10\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline { = 20\;{\rm{dB}}}.$$

(3) Allgemein gilt für das SNR bei farbiger Störung:

$$\rho _d = 2 \cdot \int_0^\infty \frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{{\it \Phi}_n (f)} \, {\rm{d}}f.$$

Wie aus der Skizze hervorgeht, ist der Integrand bei den vorgegebenen Frequenzgängen stückweise konstant.
Mit $f_{\rm G} = 5 \; \rm kHz$ und $f_{\rm N} = f_{\rm G}/2 = 2.5 \; \rm kHz$ erhält man somit:

$$\rho _d = 2 \cdot 2.5\;{\rm{kHz}}\left( { \frac{10^{ - 2}}{\rm{Hz}} + \frac{1}{{{\rm{Hz}}}} } \right) = 5.05 \cdot 10^3 \quad \Rightarrow \quad 10\cdot\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline {= 37.03\;{\rm{dB}}}.$$

Interpretation:

Der Matched–Filter–Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ hat genau den selben Verlauf wie der oben skizzierte Integrand.
Wird die Konstante $K_{\rm MF}$ (willkürlich) so gewählt, dass $H_{\rm MF}(f) = 1$ im Bereich $f_{\rm N} \le |f| \le f_{\rm G}$, so gilt für Frequenzen $(|f| < f_{\rm N})$: $H_{\rm MF}(f) = 0.01$. Das bedeutet: Das Matched–Filter bevorzugt diejenigen Frequenzen, die durch die Störung ${\it \Phi}_n(f)$ nur wenig beeinträchtigt werden.
Würde man stattdessen ein Filter $H(f)$ verwenden, das alle Frequenzen des Nutzsignals bis einschließlich $f_{\rm G}$ gleich bewertet (violetter Kurvenverlauf in der unteren Skizze), so ergäben sich folgende Verhältnisse:

$$d_{\rm S}( {T_{\rm D} } ) = G_0 \cdot 2 \cdot f_{\rm G} = 1\;{\rm{V}}, \quad \sigma _d ^2 = 10^{ - 6} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot f_{\rm G} + 10^{ - 8} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot ( {f_{\rm G} - f_{\rm N} } ) = 2.5 \cdot 1.01 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho _d = \frac {d_{\rm S}( {T_{\rm D} } )^2}{\sigma _d ^2} = \frac{1 \;{\rm{V}}^{\rm{2}}}{2.525 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}} = 396 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \, \rho _d = 25.98 \, {\rm dB}.$$

Das Signal–zu–Rauschverhältnis ist somit um ca. $11\ \rm dB$ schlechter, als wenn man das Matched–Filter für farbige Störungen verwendet.

	Anwendbar ist das „Matched-Filter für Weißes Rauschen”.
	Der MF–Ausgangsimpuls ist dreieckförmig.
	Der MF–Ausgangsimpuls ist $\rm si$–förmig.
	Der MF–Ausgangsimpuls ist $\rm si^2$–förmig.