Quelltext der Seite Mobile Kommunikation/Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung

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== Physikalische Beschreibung des Mobilfunkkanals ==
<br>
Die Grafik zeigt ein typisches Mobilfunkszenario mit fester Basisstation und einem mobilen Teilnehmer, der sich mit der Geschwindigkeit <i>&upsilon;</i> auf die Basisstation zu bewegt. Bei dieser Darstellung erreicht das Funksignal die Mobilstation über einen direkten Pfad. Die Antenne des mobilen Teilnehmers empfängt aber auch noch weitere Signalanteile, die auf Umwegen zum Empfänger gelangen, zum Beispiel aufgrund von Reflexionen an Häusern, einem Gebirge, einem Flugzeug, der Ionosphäre oder dem Erdboden.<br>

[[Datei:P ID2095 Mob T 1 1 S1 v1.png|Mobilfunkszenario|class=fit]]<br>

Anhand dieses Szenarios lassen sich wichtige Probleme bei der Mobilkommunikation erklären:
*Pfadverlust (englisch: <i>Path Loss</i>): Dieser erfasst die Dämpfung der elektromagnetischen Welle, die in starkem Maße von der Entfernung zwischen Sender und Empfänger abhängt.<br>

*Abschattung (englisch: <i>Shadowing, Long Term Fading</i>): Diese bezeichnet eine langsame Veränderung der Empfangsbedingungen aufgrund der sich ändernden Umgebung, zum Beispiel, wenn man an einem Gebäude vorbeifährt oder wenn man ein Waldstück verlässt.<br>

*Mehrwegeausbreitung (englisch: <i>Multipath Propagation</i>): Gelangt das Signal auf mehreren Wegen mit Laufzeitunterschieden zum Empfänger, so kommt es &ndash; je nach Signalfrequenz &ndash; zu konstruktiven oder destruktiven Überlagerungen bis hin zu völliger Auslöschung. Für bestimmte Frequenzen ist die Topologie günstig, für andere ungünstig. Deshalb wird dieser Effekt auch als <i>frequenzselektives Fading</i> bezeichnet.<br>

*Zeitvarianz (englisch: <i>Time Variation</i>): Der Effekt entsteht durch die Bewegung de Senders und/oder des Empfängers, da zu jeder Zeit ein anderer Kanal vorliegt. Die Übertragungsqualität sinkt rapide, wenn der direkte Pfad durch ein Hindernis abgeschattet ist. Das Empfangssignal setzt sich dann nur aus den auf Umwegen eintreffenden Teilsignalen zusammen, die aufgrund von Streuungen an Bäumen und Sträuchern sowie eventuell Brechungs&ndash; und Beugungserscheinungen gegenüber dem direkten Pfad abgeschwächt sind und sich vektoriell zum Gesamtsignal addieren.<br>

*Dopplereffekt (englisch: <i>Doppler Spread</i>): Je nachdem, ob (und auch in welchem Winkel) sich die Mobilstation auf den Sender zu bewegt oder sich von diesem entfernt, kommt es zu (leichten) Frequenzverschiebungen und damit zu statistischen Bindungen innerhalb des empfangenen Signals, die [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Definition_des_Begriffs_.E2.80.9EImpulsinterferenz.E2.80.9D_.281.29 Impulsinterferenzen] bewirken.<br><br>

In Kapitel 1.1 betrachten wir  Pfadverlust und Abschattungseffekte genauer. Die Zeitvarianz ist Inhalt von Kapitel 1.2 und 1.4, auch unter Berücksichtigung des Dopplereffektes (Kapitel 1.3). Das Kapitel 2 beschreibt die Mehrwegeausbreitung, die beim Mobilfunk Echos zur Folge hat.<br>


== Freiraumausbreitung ==
<br>
Man spricht von Freiraumausbreitung, wenn zwischen Sender und Empfänger (im Abstand <i>d</i>) eine Sichtverbindung besteht wie  bei der Satellitenkommunikation oder im Weltraum. Die Radiowellen breiten sich im &bdquo;leeren Raum&rdquo; ungehindert kugelförmig um die Sendeantenne aus, werden aber  aufgrund des Energieerhaltungssatzes mit zunehmender Entfernung abgeschwächt.<br>

Geometrisch kann man sich das so vorstellen, dass der Radius <i>R</i> der Kugel und damit auch die Kugelfläche immer größer und bei konstanter Gesamtenergie der Energieanteil pro Flächeneinheit proportional zu 1/<i>R</i><sup>2</sup> immer kleiner wird.<br>

Wir gehen von einer unmodulierten Schwingung der Frequenz <i>f</i><sub>S</sub> bzw. der Wellenlänge <i>&lambda;</i> = <i>c</i>/<i>f</i><sub>S</sub> aus, wobei <i>c</i> = 3 &middot; 10<sup>8</sup> m/s die Lichtgeschwindigkeit angibt. Die Signalleistung sei <i>P</i><sub>S</sub>.<br>

Harald Friis hat 1944 eine Gleichung für die Empfangsleistung <i>P</i><sub>E</sub>(<i>d</i>) im Abstand <i>d</i> angegeben, die allerdings nur im Vakuum gültig ist:

:<math>P_{\rm E}(d) = \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} \cdot \lambda^2}{16 \cdot  \pi^2 \cdot d^2 \cdot V_{\rm zus}} = 
 \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} /V_{\rm zus}}{K_{\rm FR}(d)} \hspace{0.05cm}.</math>

<i>G</i><sub>S</sub> bzw. <i>G</i><sub>E</sub> bezeichnen die Antennengewinne von Sender und Empfänger. <i>V</i><sub>zus</sub> > 1 fasst alle Verluste zusammen, die unabhängig von der Wellenausbreitung sind, z.B. die Verluste durch die Antennen&ndash;Kabelzuführungen. Die Freiraumdämpfung <i>K</i><sub>FR</sub>(<i>d</i>) hängt von der Distanz <i>d</i> ab:

:<math>K_{\rm FR}(d) = K_{\rm FR}(d_0) \cdot (d/d_0)^2 \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm}
 K_{\rm FR}(d_0) =  \left [{4 \cdot \pi \cdot d_0}/{\lambda} \right ]^2 \hspace{0.05cm}.</math>

Meist wird die Freiraumdämpfung logarithmisch mit der Pseudoeinheit &bdquo;dB&rdquo; angegeben. Dann gilt für den Leistungsverlust durch die Freiraumdämpfung (&bdquo;<i>V</i>&rdquo; steht für &bdquo;Verlust&rdquo; in dB):

:<math>V_{\rm FR}(d) \hspace{-0.1cm}  =  \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} K_{\rm FR}(d) = V_{\rm 0} + 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>V_{\rm 0} \hspace{-0.1cm}  =  \hspace{-0.1cm} V_{\rm FR}(d_0) = 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.2cm} ({4 \pi  d_0}/{\lambda}) \hspace{0.05cm}.</math>

Zu diesen Gleichungen ist anzumerken:
*Sie gilt nur im Fernfeld der Antenne (<i>d</i> > <i>d</i><sub>F</sub>). <i>d</i><sub>F</sub> = 2 <i>D</i><sup>2</sup>/<i>&lambda;</i> ist die Fraunhofer&ndash;Distanz. Für <i>D</i> ist hierbei die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne einzusetzen.<br>

*Die obige Formel gilt nicht  für <i>d</i> &#8594; 0.  Hierfür  ergäbe sich der Grenzwert <i>K</i><sub>FR</sub> &#8594; 0, und es ergäbe sich unabhängig von <i>P</i><sub>S</sub> stets eine unendliche Empfangsleistung <i>P</i><sub>E</sub>(<i>d</i> &#8594; 0).<br>

*Die Freiraumdämpfung <i>K</i><sub>FR</sub>(<i>d</i>) nimmt mit zunehmender Entfernung <i>d</i> quadratisch zu und ebenfalls quadratisch mit zunehmender Signalfrequenz <i>f</i><sub>S</sub>, das heißt, mit kleiner werdender Wellenlänge <i>&lambda;</i>.<br>

*Beispielsweise gilt beim GSM/E&ndash;Netz (<i>f</i><sub>S</sub> = 1.8 GHz &#8658; <i>&lambda;</i> &asymp; 17 cm): <i>K</i><sub>FR</sub>(<i>d</i> = 1 km) = 1.6 &middot 10<sup>9</sup>. Beim Empfänger im Abstand von 1 km kommt also nicht mal ein Milliardstel der Sendeleistung an.<br><br>

In der Aufgabe Z1.1 soll die obige Friis&ndash;Gleichung numerisch ausgewertet und interpretiert werden. Oft setzt man die Freiraumdämpfung in Bezug zu einer geeignet zu definierenden Normierungsdistanz <i>d</i><sub>0</sub>, wobei man häufig  <i>d</i><sub>0</sub> = 1 m verwendet.<br>

== Gebräuchliches Pfadverlustmodell ==
<br>
Im Gegensatz zu Satelliten&ndash; und Richtfunk&ndash;Übertragungsstrecken sind beim Landmobilfunk neben der Freiraumdämpfung weitere störende Effekte zu berücksichtigen, die ebenfalls zu einer Verminderung der Empfangsleistung beitragen, nämlich:
*Reflexionen: Durch Überlagerung des Sendesignals mit einer am Erdboden oder an anderen großen glatten Oberflächen reflektierten Signalkomponente können Auslöschungen entstehen, die eine Abnahme der Empfangsleistung bis zur Potenz 4 des Abstandes <i>d</i> zwischen Sender und Empfänger bewirken. Mehr hierzu finden Sie in [Zan05]<ref>Zangl, J.: ''Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC).'' Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.</ref> und [PA95]<ref>Pahlavan, K.; Allen, L.: ''Wireless Information Networks.'' New York: John Wiley & Sons, Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing, 1995.</ref>.<br>

*Beugung: Hiervon spricht man, wenn das Signal nicht reflektiert, sondern &ndash; zum Beispiel an einer Gebäudekante &ndash; von seiner Ausbreitungsrichtung abgelenkt wird. Eine physikalische Erklärung findet man wieder in [Zan05]<ref>Zangl, J.: ''Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC).'' Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.</ref>.<br>

*Streuung: Ist die Verbindung Sender &ndash; Empfänger durch mehrere Objekte mit unregelmäßiger Oberfläche (zum Beispiel Bäume oder Sträucher) unterbrochen, so trifft das Signal am Empfänger in Form vieler Streusignale mit leicht unterschiedlichen Laufzeiten ein. Die Größe des Hindernisses bestimmt dabei, ob dieses als reflektierendes oder als streuendes Objekt aufzufassen ist.<br><br>

Diese Effekte sind dafür verantwortlich, dass man Mobilfunk auch ohne direkte Sichtverbindung betreiben kann, und die Grundlage für den wirtschaftlichen Erfolg der Mobilfunksysteme. Negativ wirken sich diese Effekte durch eine geringere Empfangsleistung aus, was durch einen größeren Exponenten als <i>&gamma;</i> = 2 berücksichtigt werden muss. Wir sprechen dann nicht mehr von Freiraumdämpfung, sondern allgemein vom <i>Pfaddämpfungsfaktor</i>:

:<math>K_{\rm P}(d) = K_{\rm P}(d_0) \cdot (d/d_0)^\gamma \hspace{0.05cm}.</math>

Die entsprechende dB&ndash;Größe nennen wir Pfadverlust (&bdquo;lg&rdquo; ist der Logarithmus zur Basis 10):

:<math>V_{\rm P}(d) \hspace{-0.1cm}  =  \hspace{-0.1cm}  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>V_{\rm 0} \hspace{-0.1cm}  =  \hspace{-0.1cm} V_{\rm P}(d_0) = \gamma \cdot 10\,{\rm dB}  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda}\hspace{0.05cm}. </math>

Aus diesen Gleichungen ist zu ersehen, dass die Freiraumdämpfung <i>V</i><sub>FR</sub>(<i>d</i>) ein Sonderfall von <i>V</i><sub>P</sub>(<i>d</i>) mit <i>&gamma;</i> = 2 ist. In  [Zan05]<ref>Zangl, J.: ''Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC).'' Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.</ref> werden einige Zahlenwerte für den Exponenten <i>&gamma;</i> angegeben, die als Mittelwerte über eine Vielzahl von Messungen bestimmt wurden. Unter anderem gilt
*bei freier Sichtverbindung (Satelliten, Richtfunk): <i>&gamma;</i> &asymp; 2,<br>

*in städtischer Umgebung: <i>&gamma;</i> = 2.7 ... 3.5,<br>

*in abgeschatteter städtischer Umgebung: <i>&gamma;</i> = 3.0 ... 5.0,<br>

*innerhalb von Gebäuden ohne Sichtverbindung: <i>&gamma;</i> = 4.0 ... 6.0.<br>

== Weitere, exaktere Pfadverlustmodelle ==
<br>
Das relativ einfache Pfadverlustmodell entsprechend der letzten Seite ist gut geeignet für Makrozellen, setzt allerdings hohe Antennen der Basisstationen voraus. Es wird beispielsweise als Referenz&ndash;Szenario bei der Standardisierung von Long Term Evolution (LTE) eingesetzt.<br>

Natürlich kann dieses sehr einfache Zweiparameter&ndash;Modell (<i>V</i><sub>0</sub>, <i>&gamma;</i>) nicht alle Anwendungsfälle mit ausreichender Genauigkeit wiedergeben. Vielmehr findet man in der Literatur eine Vielzahl weiterer Modelle für die Leistungsdämpfung, die genauer an spezifische Randbedingungen (Umgebungen) angepasst sind und auch unterschiedliche Zellgrößen berücksichtigen. Bekannt sind zum Beispiel (siehe [Gol06]<ref>Goldsmith, A.: ''Wireless Communications.'' Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2006.</ref>. )

*das Okumura&ndash;Hata&ndash;Modell,<br>

*das Pfadverlustmodell gemäß COST 231,<br>

*das <i>Dual&ndash;Slope</i>&ndash;Modell.<br><br>

Letzteres wird oft für Simulationen von Mikrozellen im städtischen Bereich eingesetzt. Es lautet mit den Kenngrößen <i>d</i><sub>0</sub> = 1 m und <i>d</i><sub>BP</sub> (<i>Breakpoint</i>, beispielsweise <i>d</i><sub>BP</sub> = 100 m):

:<math>V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left ( {d}/{d_0} \right ) 
 + (\gamma_1 - \gamma_0) \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left (1+ {d}/{d_{\rm BP}} \right )\hspace{0.05cm}.</math>

[[Datei:P ID2096 Mob T 1 1 S4.png|Dual-Slope-Pfadverlustmodell|right|rahmelos]]

<br>Die Grafik zeigt diesen Verlauf für <i>V</i><sub>0</sub> = 10 dB, <i>&gamma;</i><sub>0</sub> = 2 und <i>&gamma;</i><sub>1</sub> = 4 im Bereich von einem Meter bis zu mehreren Kilometern (grauer Kurvenzug).

<br><br><br><br><br><br><br>
Häufig wird zur Vereinfachung die in der Grafik rot eingezeichnete asymptotische Näherung

:<math>V_{\rm P}(d) = \left\{ \begin{array}{c} V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},\\
 V_{\rm BP} + \gamma_1 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_{\rm BP})\hspace{0.05cm},   \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}  \hspace{0.15cm}d < d_{\rm BP}\hspace{0.05cm},
\\  {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} d \ge d_{\rm BP}\hspace{0.05cm} \\ \end{array}</math>

verwendet. Der Wert <i>V</i><sub>BP</sub> = 50 dB ergibt sich aus der Gleichung für den ersten Abschnitt an der Grenze <i>d</i> = 100 m des Gültigkeitsbereiches.<br>

<b>Hinweis:</b> In der Aufgabe A1.1 wird dieses Modell noch eingehend untersucht.<br>

== Zusätzlicher Verlust durch Abschattungen (Shadowing) ==
<br>
Die bisherigen Pfadverlustmodelle berücksichtigen nur die distanzabhängige Signaldämpfung gemäß der linken Grafik und lassen topologische Gegebenheiten wie den Einfluss von Abschattungen (englisch: <i>Shadowing</i>) außer Acht. Im Landmobilfunk führen Abschattungen dazu, dass der Signalpegel auch dann nicht konstant ist, wenn man sich im gleichen Abstand von der Basisstation (auf einem Kreisbogen) bewegt. Diesen Sachverhalt zeigt die rechte Grafik, wobei dunklere Bereiche einen größeren Pfadverlust kennzeichnen. Der Unterschied zwischen linkem und rechtem Bild ist auf &bdquo;Shadowing&rdquo; zurückzuführen.<br>

[[Datei:P ID2097 Mob T 1 1 S5 v2.png|Pfadverlust ohne und mit Berücksichtigung von Abschattung}class=fit]]<br>

Die Auswirkungen von Abschattungen (<i>Shadowing</i>) lassen sich wie folgt zusammenfassen:
*Bei ruhenden Sender und Empfänger ist die Abschattung deterministisch zu betrachten. Sie führt dazu, dass der Pfadverlust aufgrund Abschattung um einen konstanten Wert <i>V</i><sub>S</sub> (in dB) verändert wird:

::<math>V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ V_{\rm S}\hspace{0.05cm}. </math>

*Bewegt sich der Empfänger (oder auch der Sender), so ändert sich der <i>Shadowing</i>&ndash;Verlust entsprechend den Koordinaten und demzufolge auch mit der Zeit: <i>V</i><sub>S</sub> &#8658; <i>V</i><sub>S</sub>(<i>x</i>, <i>y</i>) bzw. <i>V</i><sub>S</sub>(<i>t</i>).<br>

*Allerdings sind solche Kanaländerungen aufgrund von Abschattungen sehr langsam. Oft bleiben die Bedingungen über mehrere Sekunden gleich und man spricht hier von <i>Long Term Fading</i> im Gegensatz zu schnellem Fading wie [http://www.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals Rayleigh&ndash;Fading] und [http://www.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente#Kanalmodell_und_Rice.E2.80.93WDF Rice&ndash;Fading.]<br>

== Lognormal–Kanalmodell (1) ==
<br>
Zur Berücksichtigung des <i>Shadowing</i>&ndash;Verlustes <i>V</i><sub>S</sub> bei der Systemplanung muss man auf stochastische Modelle zurückgreifen, die sich aus empirischen Untersuchungen ergeben haben. Am bekanntesten ist das Lognormal&ndash;Kanalmodell, das für die Zufallsvariable <i>V</i><sub>S</sub> eine [http://www.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Gau%C3%9Fverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fe#Allgemeine_Beschreibung Gaußsche WDF] zugrundelegt:

[[Datei:P ID2098 Mob T 1 1 S6a v1.png|rahmenlos|rechts|Lognormal-WDF des Shadowing-Verlustes]]

:<math>f_{V{\rm S}}(V_{\rm S}) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ (V_{\rm S}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}m_{\rm S})^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.</math>

Der Name &bdquo;Lognormal&rdquo; ergibt sich aus der Tatsache, dass die dB&ndash;Größe <i>V</i><sub>S</sub>, die  über den Logarithmus aus dem linearen Leistungsdämpfungsfaktor abgeleitet wird, normalverteilt (und damit gaußisch) ist. <br><br><br>

Das Lognormal&ndash;Kanalmodell ist durch zwei Parameter bestimmt:
*Der Mittelwert <i>m</i><sub>S</sub> = E[<i>V</i><sub>S</sub>] gibt den mittleren Shadowing&ndash;Verlust an. Für ländliches Gebiet wird mit <i>m</i><sub>S</sub> = 6 dB gerechnet, für städtisches Gebiet geht man von 14 dB ... 20 dB aus.<br>

*Auch die Standardabweichung (oder Streuung) <i>&sigma;</i><sub>S</sub> ist für ländliches Gebiet (&asymp; 6 dB) bzw. für städtische Bedingungen (zwischen 8 dB und 12 dB) unterschiedlich.<br><br>

Beachten Sie, dass <i>V</i><sub>S</sub> beim Lognormal&ndash;Fading auch negative Werte annehmen kann (rote Hinterlegung in obiger Grafik), was der Vorstellung von Abschattung eigentlich widerspricht. In der Praxis hat sich dieses Modell allerdings als sehr gut erwiesen. Den &bdquo;Gewinn durch Abschattung&rdquo; könnte man wie folgt interpretieren:
*In Häuserschluchten kann durch Reflexionen an Gebäuden mehr Energie ankommen, als es nach dem Pfadverlust zu erwarten wäre.<br>

*Der Pfadverlustexponent <i>&gamma;</i> wird stets fest vorgegeben. Im städtischen Gebiet wird häufig  von <i>&gamma;</i> = 3.76 ausgegangen. Aber es gibt Positionen in der Stadt, bei denen <i>&gamma;</i> kleiner ist.<br>

*Zu bedenken ist auch, dass ein solch einfaches Modell nicht alle Details exakt abbildet. Man sollte daher nicht versuchen, alle Modelleigenschaften physikalisch zu interpretieren.<br><br>

Es ist zweckmäßig, die Pfadverlustanteile in folgender Weise zusammenzufassen:

:<math>V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t) \hspace{0.25cm}{\rm mit}\hspace{0.25cm} V_{\rm 1} =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ m_{\rm S}\hspace{0.05cm}.</math>

Der zweite Anteil <i>V</i><sub>2</sub>(<i>t</i>) beschreibt nun eine Lognormal&ndash;WDF mit Mittelwert 0:

:<math>f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ V_{\rm 2} ^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.</math>

Die Entfernungabhängigkeit von  <i>V</i><sub>1</sub> spielt keine große Rolle und wird hier nicht weiter betrachtet.<br>

== Lognormal–Kanalmodell (2) ==
<br>
[[Datei:P ID2099 Mob T 1 1 S6b v2.png|rahmenlos|rechts|Pfadverlustmodell mit Lognormal-Fading]]

Die Grafik zeigt ein Zeitbereichsmodell, mit dessen Hilfe der Pfadverlust  <i>V</i><sub>P</sub> gemäß obiger Gleichung simulativ nachgebildet werden kann.

<br>Dazu ist anzumerken:
*Das Eingangssignal <i>s</i>(<i>t</i>) besitze die Leistung <i>P</i><sub>S</sub>. In logarithmischer Darstellung wird die Leistung auf 1 mW bezogen  und es wird die Pseudoeinheit &bdquo;dBm&rdquo; hinzugefügt.

*Der Pfadverlust <i>V</i><sub>1</sub> wird durch die Multiplikation mit <i>k</i><sub>1</sub> erzeugt. Das Ausgangssignal <i>r'</i>(<i>t</i>) hat dann eine um <i>V</i><sub>1</sub> (in dB) kleinere Leistung:

::<math>k_1 = 10^{-V_{\rm 1}/20} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}
 10  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' }{\rm 1\,mW}= 10  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S} }{\rm 1\,mW} + 20  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} k_1 =
 10  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S} }{\rm 1\,mW} - V_1
 \hspace{0.05cm}.</math>

*Das (mittelwertfreie) Lognormal&ndash;Fading wird durch Multiplikation mit der Zufallsgröße <i>z</i><sub>2</sub>(<i>t</i>) nachgebildet. Die WDF ergibt sich aus der Gaußschen Zufallsgröße  <i>V</i><sub>2</sub> durch eine [http://www.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen nichtlineare Transformation] an der Kennlinie <i>z</i><sub>2</sub> = <i>g</i>(<i>V</i><sub>2</sub>) = 10<sup>&ndash;<i>V</i><sub>2</sub>/20</sup>.

*Für <i>z</i><sub>2</sub> < 0 ist diese WDF gleich 0, und für <i>z</i><sub>2</sub> &#8805; 0 gilt mit der Abkürzung  <i>C</i> = ln(10)/20 dB:

::<math>f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2}) =  \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2}   \hspace{0.05cm}.</math>

[[Datei:P ID2102 Mob T 1 1 S6c v3.png|Zusammenhang zwischen Gauß (<i>V</i><sub>2</sub>) und Lognormal (<i>z</i><sub>2</sub>)]]<br>

Die Grafik verdeutlicht diese Transformation. Man erkennt die Gauß&ndash;WDF von <i>V</i><sub>2</sub> (blau) mit Streuung <i>&sigma;</i><sub>S</sub> = 6 dB, die negativ&ndash;logarithmische Kennlinie (grün) und die unsymmetrische WDF (rot) der zu multiplizierenden Größe <i>z</i><sub>2</sub>(<i>t</i>). Wir verweisen hierzu auch auf die Aufgabe Z1.2.

== Voraussetzungen für das restliche Kapitel 1 ==
<br>
Die mittlere Leistung aller am Empfänger ankommenden Signalanteile können mit Hilfe von Pfadverlust&ndash; und Abschattungsmodell berechnet werden. Das Lognormal&ndash;Abschattungsmodell berücksichtigt langsame Änderungen der Reflektoren aufgrund der Topologie, wobei sich die Empfangsbedingungen in Städten nur alle fünf bis zehn Meter ändern und auf dem Land nur alle 30 bis 100 Meter. Im Folgenden wird der Pfadverlust und der Einfluss von Abschattungen nicht weiter betrachtet, sondern auf 1 normiert.<br>

Pfade können sich konstruktiv oder destruktiv überlagern. Die damit zusammenhängenden Änderungen ergeben sich örtlich im Bereich der halben Wellenlänge. Beim Mobilfunk genügen dabei schon einige wenige Zentimeter, um völlig andere Empfangsbedingungen vorzufinden. Man spricht von Fast Fading. Ein solcher Kanal ist grundsätzlich frequenz&ndash; und zeitabhängig.

Für den Rest von Kapitel 1 wird die Frequenzabhängigkeit dadurch eliminiert, dass wir von einer einzigen festen Frequenz ausgehen. Es gelten somit ab sofort folgende Voraussetzungen:
*Das Eingangssignal des Mobilfunkkanals sei eine Cosinusschwingung mit der Amplitude <i>A</i> = 1 und der Frequenz <i>f</i><sub>T</sub>. Wir bezeichnen diese Schwingung als <i>Sendesignal</i>  <i>s</i><sub>BP</sub>(<i>t</i>).<br>

*Das Ausgangssignal <i>r</i><sub>BP</sub>(<i>t</i>) des Mobilfunkkanals &ndash; im Folgenden <i>Empfangssignal</i> genannt &ndash; unterscheidet sich von <i>s</i><sub>BP</sub>(<i>t</i>) sowohl in der Amplitude (Hüllkurve) als auch in der Phase.<br>

*Wir betrachten des Weiteren den Mobilfunkkanal stets im [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion#Motivation äquivalenten Tiefpassbereich.] Das Sendesignal ist dann <i>s</i><sub>TP</sub>(<i>t</i>) = 1 und somit reell.<br>

*Das TP&ndash;Ausgangssignal <i>r</i><sub>TP</sub>(<i>t</i>) ist im Allgemeinen komplexwertig, wobei die Hüllkurve durch <i>a</i>(<i>t</i>) gegeben ist und sich die Phase <i>&#981;</i>(<i>t</i>) durch Verschiebungen der Nulldurchgänge bemerkbar macht.<br><br>

Allgemein gilt dann für das physikalische (Bandpass&ndash;)Signal am Ausgang des Mobilfunkkanals:

:<math>r_{\rm BP}(t) = a(t) \cdot \cos(2\pi f_{\rm T} t + \phi(t))
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(t) = |r_{\rm BP}(t)|\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  \phi(t) = {\rm arc}\hspace{0.15cm} r_{\rm BP}(t)\hspace{0.05cm}.</math>

Die Grafik zeigt Beispiele solcher Bandpass&ndash;Signale und deren Tiefpass&ndash;Repräsentanten, wobei vereinfachend der Fall <i>&#981;</i>(<i>t</i>) = 0 und damit ein reelles TP&ndash;Empfangssignal dargestellt ist.<br>

[[Datei:P ID2100 Mob T 1 1 S7 v1.png|Signale <i>s</i>(<i>t</i>) und <i>r</i>(<i>t</i>) zur Beschreibung des Mobilfunkkanals ]]<br>

==Aufgaben==
<br>
[[Aufgaben:1.1 Dual-Slope–Verlustmodell|A1.1 Dual-Slope–Verlustmodell]]

[[Zusatzaufgaben:1.1 Einfaches Pfadverlustmodell]]

[[Aufgaben:1.2 Lognormal – Kanalmodell|A1.2 Lognormal – Kanalmodell]]

[[Zusatzaufgaben:1.2 Nochmals Lognormal–Fading]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>


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