Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.6: Übergangswahrscheinlichkeiten


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten
}}

[[Datei:P_ID451__Sto_A_1_6.png|right|20 Realisierungen der betrachteten Markovkette]]
Rechts sehen Sie 20 Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$: 
*Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn ($ν = 0$) das Ereignis $A$ überwiegt. 
*Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab $ν = 4$ – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis $B$ auf.

Durch Mittelung über Millionen von Realisierungen wurden einige Ereigniswahrscheinlichkeiten numerisch ermittelt:

$${\rm Pr}(A_\text{v=0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_\text{v=1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_\text{v>4}) \approx 0.4.$$

Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette (näherungsweise) zu ermitteln.


''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:
:[[Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten $ν = 0$, $ν = 1$ und $ν = 9$, wenn man nur die 20 dargestellten Realisierungen berücksichtigt?
|type="{}"}
${\rm Pr}(A_\text{v=0}) \ =$  { 0.85 3% }
${\rm Pr}(A_\text{v=1}) \ =$ { 0.1 3% }
${\rm Pr}(A_\text{v=9}) \ =$ { 0.4 3% }

{Welche der Aussagen sind aufgrund der Musterfolgen zutreffend?
|type="[]"}
+ Nach $A$ ist $B$ wahrscheinlicher als $A$.
+ Sowohl nach $A$ als auch nach $B$ kann wieder $A$ oder $B$ folgen.
- Die Folge $B B B B ...$ ist nicht möglich.

{Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette. Wie groß sind insbesondere ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$ und ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$$?
|type="{}"}
${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ =$ { 0.1 3% }
${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ =$ { 0.4 3% }

{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils $B$ sind?
|type="{}"}
${\rm Pr}(B_0, ... , B_9)\ =$ { 2.62 3% } $\ \cdot  10^{-5}$


{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge $A \ B \ B \ A$ erzeugt wird?
|type="{}"}
${\rm Pr}(A \ B \ B \ A)\ =$ { 0.0864 3% }

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind:
:$$*Pr(A_\text{$\nu$ = 0}) = \underline{17/20 = 0.85},$$
:$$*Pr(A_\text{$\nu$ = 1}) = \underline{2/20 = 0.10},$$
:$$*Pr(A_\text{$\nu$ = 9}) = \underline{8/20 = 0.40},$$
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Nach <i>A</i> folgt <i>B</i> sehr viel h&auml;ufiger als <i>A</i>, das heißt, es wird sicher Pr(<i>B</i>&nbsp;|&nbsp;<i>A</i>) > Pr(<i>A</i> | <i>A</i>) sein. Alle vier &Uuml;berg&auml;nge zwischen den zwei Ereignissen <i>A</i> und <i>B</i> sind m&ouml;glich. Daraus folgt weiter, dass alle vier &Uuml;bergangswahrscheinlichkeiten ungleich 0 sein werden. Wegen Pr(<i>B<sub>&nu;</sub></i><sub>=0</sub>) &ne; 0 und Pr(<i>B</i>&nbsp;|&nbsp;<i>B</i>) &ne; 0 kann nat&uuml;rlich auch die Folge <i>B B B B ...</i> erzeugt werden, auch wenn diese bei den 20 hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist. Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit der Abk&uuml;rzung Pr(<i>A</i><sub>0</sub>) = Pr(<i>A<sub>&nu;</sub></i><sub>=0</sub>) usw.:
:$${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B_0).$$
:Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind Pr(<i>A</i>) = Pr(<i>A<sub>&nu;</sub></i><sub>>4</sub>) = 0.4 und Pr(<i>B</i>) = Pr(<i>B<sub>&nu;</sub></i><sub>>4</sub>) = 0.6. Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
:$${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B).$$
:Mit den angegebenen Zahlenwerten erh&auml;lt man aus diesen letzten beiden Gleichungen: 
:$$0.15 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.90 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.10 ,$$
:$$0.40 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.40 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.60 .$$
:Multipliziert man die erste Gleichung mit 6 und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich: 
:$$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow
\hspace{0.15cm}  {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
:Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man $Pr(A&nbsp;|&nbsp;B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind $Pr(B&nbsp;|&nbsp;A) = 1 - Pr(A&nbsp;|&nbsp;A) = 0.9, Pr(B&nbsp;|&nbsp;B) = 1 - Pr(A&nbsp;|&nbsp;B)\ \underline{= 0.4}$.
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Dieser Fall ist nur dann m&ouml;glich, wenn die Markovkette mit <i>B</i> beginnt und danach neunmal ein &Uuml;bergang von <i>B</i> nach <i>B</i> stattfindet:
:$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit Pr(<i>A</i>) ausgegangen werden und man erh&auml;lt:
:$${\rm Pr}(A_{\nu}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +1}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +2},\hspace{0.05cm} A_{\nu +3}) = {\rm Pr}(A) \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.64 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}10^{-2}}.$$
{{ML-Fuß}}



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