Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder}}

[[Datei:P_ID2978__KC_Z_4_1.png|right|frame|BEC–Kanalmodell]]
Wir betrachten das so genannte [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BEC&ndash;Kanalmodell]] (<i>Binary Erasure Channel</i>) mit
* der Eingangsgröße $x &#8712; \{+1, \, &ndash;1\}$,
* der Ausgangsgröße $y &#8712; \{+1, \, &ndash;1, \, {\rm E}\}$, und
* der Auslöschungswahrscheinlichket $\lambda$.


Hierbei bedeutet $y = {\rm E}$ (<i>Erasure</i>), dass der Ausgangswert $y$ weder als &bdquo;$+1$&rdquo; noch als &bdquo;$&ndash;1$&rdquo; entschieden werden konnte.

Bekannt sind zudem die Eingangswahrscheinlichkeiten
:$${\rm Pr}(x = +1) = 3/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(x = -1) = 1/4\hspace{0.05cm}.$$

Das <font color="#cc0000"><span style="font-weight: bold;">Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnis</span></font> (kurz: $L$&ndash;Wert, englisch: <i>Log Likelihood Ratio</i>, LLR) der binären Zufallsgröße $x$ ist bei bipolarer Betrachtungsweise wie folgt gegeben:
:$$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}\hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für den bedingten $L$&ndash;Wert in Vorwärtsrichtung für alle $y &#8712; \{+1, \, &ndash;1, \, {\rm E}\}$:
:$$L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) =
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}. $$

''Hinweis:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.



===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Wie lautet der $L$&ndash;Wert der Eingangsgröße $x$?
|type="{}"}
$L(x) \ = \ ${ 1.099 3% } 

{Welcher Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(x = \, &ndash;1)$ entspricht $L(x) = \, &ndash;2$?
|type="{}"}
${\rm Pr}(x = \, &ndash;1) \ = \ ${ 0.881 3% }

{Berechnen Sie den bedingten $L$&ndash;Wert $L(y = {\rm E} | x)$ in Vorwärtsrichtung.
|type="{}"}
$L(y = {\rm E} | x) \ = \ ${ 0 3% }

{Welche Aussagen gelten für die beiden anderen bedingten $L$&ndash;Wert?
|type="[]"}
+ $L(y = +1 | x)$ ist positiv unendlich.
+ $L(y = \, &ndash;1 | x)$ ist negativ und betragsmäßig unendlich groß.
- Es gilt $L(y = +1 | x) = L(y = \, &ndash;1 | x) = 0$.

{Unter welchen Voraussetzungen gelten die Ergebnisse aus (3) und (4)?
|type="[]"}
- Für $0 &#8804; \lambda &#8804; 1$.
- Für $0 < \lambda &#8804; 1$.
- Für $0 &#8804; \lambda < 1$.
+ Für $0 < \lambda < 1$.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; 


'''(2)'''&nbsp; 


'''(3)'''&nbsp; 


'''(4)'''&nbsp; 


'''(5)'''&nbsp; 
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]