Quelltext der Seite Applets:Lineare Verzerrungen periodischer Signale

{{LntAppletLink|verzerrungen}} 

==Programmbeschreibung==
<br>
Dieses Applet veranschaulicht die Auswirkungen von linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen und Phasenverzerrungen) anhand 
[[Datei:Modell_version2.png|right|frame|Bedeutung der verwendeten Signale]]
*des Eingangssignals $x(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Leistung $P_x$:
:$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right), $$
*des Ausgangssignals $y(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Leistung $P_y$:
:$$y(t) = \alpha_1 \cdot  x_1(t-\tau_1)  +  \alpha_2  \cdot  x_2(t-\tau_2),$$
*des Matching&ndash;Ausgangssignals $z(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Leistung $P_z$:
:$$z(t) = k_{\rm M} \cdot  y(t-\tau_{\rm M})  +  \alpha_2  \cdot  x_2(t-\tau_2),$$
*des Differenzsignals &nbsp;  $\varepsilon(t) = z(t) - x(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Leistung $P_\varepsilon$. 


Als nächster Block im obigen Modell folgt das &bdquo;Matching&rdquo;:  Dabei wird das Ausgangssignal $y(t)$ mit für alle Frequenzen einheitlichen Größen   $k_{\rm M}$ und $\tau_{\rm M}$ in Amplitude bzw. Phase angepasst. Dies ist also keine frequenzabhängige Entzerrung. Anhand des Signals $z(t)$ kann unterschieden werden 
*zwischen einer Dämpfungsverzerrung und einer frequenzunabhängigen Dämpfung, sowie
*zwischen einer Phasenverzerrung und einer für alle Frequenzen gleichen Laufzeit.


Als Maß für die Stärke der linearen Verzerrungen wird die Verzerrungsleistung (englisch: ''Distortion Power'') $P_{\rm D}$ verwendet. Für diese gilt:
:$$P_{\rm D} = \min_{k_{\rm M},  \ \tau_{\rm M}} P_\varepsilon.$$

[[Applets:Linear_Distortions_of_Periodic_Signals|'''Englische Beschreibung''']]


==Theoretischer Hintergrund==
<br>
Unter '''Verzerrungen''' (englisch: ''Distortions'') versteht man allgemein die unerwünschte deterministische Veränderungen eines Nachrichtensignals durch ein Übertragungssystem. Sie sind bei vielen Nachrichtensystemen neben den stochastischen Störungen (Rauschen, Nebensprechen, etc.)  eine entscheidende Begrenzung für die Übertragungsqualität und die Übertragungsrate.

Ebenso wie man die &bdquo;Stärke&rdquo; von Rauschen durch 
*die Rauschleistung (englisch: ''Noise Power'') $P_{\rm N}$ und
*das Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis  (englisch: ''Signal&ndash;to&ndash;Noise Ratio'', SNR)  $\rho_{\rm N}$ 


bewertet, verwendet man zur Quantifizierung der Verzerrungen

*die Verzerrungsleistung (englisch: ''Distortion  Power'') $P_{\rm D}$ und
*das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungsleistungsverhältnis  (englisch: ''Signal&ndash;to&ndash;Distortion Ratio'', SDR)  
:$$\rho_{\rm D}=\frac{\rm Signalleistung}{\rm Verzerrungsleistung} = \frac{P_x}{P_{\rm D} }.$$
 

=== Lineare und nichtlineare Verzerrungen ===
<br>
Man unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen Verzerrungen:
*'''Nichtlineare Verzerrungen''' gibt es, wenn zu allen Zeiten $t$ zwischen dem Signalwert $x = x(t)$ am Eingang und dem Ausgangssignalwert $y = y(t)$ der nichtlineare Zusammenhang $y = g(x) \ne {\rm const.}  \cdot x$ besteht, wobei $y = g(x)$ die nichtlineare Kennlinie des Systems bezeichnet. Legt man an den Eingang ein Cosinussignal der Freuenz $f_0$ an, so beinhaltet das Ausgangssignal neben  $f_0$ auch Vielfache hiervon &nbsp; &rArr; &nbsp; so genannte ''Oberwellen''. Durch nichtlineare Verzerrungen entstehen also neue Frequenzen.
  
[[Datei:LZI_T_2_2_S3_vers2.png|center|frame|Zur Verdeutlichung  nichtlinearer Verzerrungen |class=fit]]

[[Datei:P_ID899__LZI_T_2_3_S1_neu.png|right |frame| Beschreibung eines linearen Systems|class=fit]]
*'''Lineare Verzerrungen''' entstehen dann, wenn der Übertragungskanal durch einen Frequenzgang $H(f) \ne \rm const.$ charakterisiert wird. Dann werden unterschiedliche Frequenzen unterschiedlich gedämpft und unterschiedlich verzögert. Charakteristisch hierfür ist, dass zwar Frequenzen verschwinden können (zum Beispiel durch einen Tiefpass, einen Hochpass oder einen Bandpass), dass aber keine neuen Frequenzen entstehen.


In diesem Applet werden nur lineare Verzerrungen betrachtet.


=== Beschreibungsformen für den  Frequenzgang ===
<br>
Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden: 
:$$H(f) = |H(f)| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot
\hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$

Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen: 
*Der Betrag $|H(f)|$ wird als '''Amplitudengang''' und in logarithmierter Form als '''Dämpfungsverlauf''' bezeichnet: 
:$$a(f) = - \ln |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper
\hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in
\hspace{0.1cm}Dezibel \hspace{0.1cm}(dB) }.$$
*Der '''Phasengang''' $b(f)$ gibt den negativen frequenzabhängigen Winkel von $H(f)$ in der komplexen Ebene an, bezogen auf die reelle Achse: 
:$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in
\hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$

=== Tiefpass <i>N</i>&ndash;ter Ordnung   ===
<br>
[[Datei:Tiefpass_version2.png|right|frame|Dämpfungsverlauf und Phasenverlauf eines Tiefpasses <i>N</i>&ndash;ter Ordnung]]
Der Frequenzgang eines realisierbaren Tiefpasses <i>N</i>&ndash;Ordnung lautet:
:$$H(f) = \left [\frac{1}{1 + {\rm j}\cdot f/f_0 }\right ]^N\hspace{0.05cm}.$$
Ein einfacher RC&ndash;Tiefpass hat diesen Verlauf mit $N=1$. Damit erhält man 
*den Dämpfungsverlauf:
:$$a(f) =N/2 \cdot \ln  [1+( f/f_0)^2] \hspace{0.05cm},$$
*den Phasenverlauf:
:$$b(f) =N \cdot \arctan( f/f_0) \hspace{0.05cm},$$
*den Dämpfungsfaktor für die Frequenz $f=f_i$:
:$$\alpha_i =|H(f = f_i)| =  [1+( f/f_0)^2]^{-N/2}$$  
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm}  y(t)= \alpha_i  \cdot A_i\cdot \cos(2\pi f_i t)\hspace{0.05cm},$$
*die Phasenlaufzeit für die Frequenz $f=f_i$:
:$$\tau_i =\frac{b(f_i)}{2 \pi f_i} = \frac{N \cdot \arctan( f_i/f_0)}{2 \pi f_i}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm}  y(t)=A_i\cdot \cos(2\pi f_i (t- \tau_i))\hspace{0.05cm}.$$



=== Hochpass <i>N</i>&ndash;ter Ordnung   ===
<br>
[[Datei:Hochpass_version2.png|right|frame|Dämpfungsverlauf und Phasenverlauf eines Hochpasses <i>N</i>&ndash;ter Ordnung]]
Der Frequenzgang eines realisierbaren Hochpasses <i>N</i>&ndash;Ordnung lautet:
:$$H(f) = \left [\frac{ {\rm j}\cdot f/f_0 }{1 + {\rm j}\cdot f/f_0 }\right ]^N\hspace{0.05cm}.$$
Ein einfacher LC&ndash;Tiefpass hat diesen Verlauf mit $N=1$. Damit erhält man 
*den Dämpfungsverlauf:
:$$a(f) =N/2 \cdot \ln  [1+( f_0/f)^2] \hspace{0.05cm},$$
*den Phasenverlauf:
:$$b(f) =-N \cdot \arctan( f_0/f) \hspace{0.05cm},$$
*den Dämpfungsfaktor für die Frequenz $f=f_i$:
:$$\alpha_i =|H(f = f_i)| =  [1+( f_0/f)^2]^{-N/2}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm}  y(t)= \alpha_i  \cdot A_i\cdot \cos(2\pi f_i t)\hspace{0.05cm},$$
*die Phasenlaufzeit für die Frequenz $f=f_i$:
:$$\tau_i =\frac{b(f_i)}{2 \pi f_i} = \frac{-N \cdot \arctan( f_0/f_i)}{2 \pi f_i}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm}  y(t)=A_i\cdot \cos(2 \pi  f_i (t- \tau_i))\hspace{0.05cm}.$$


[[Datei:Verzerrungen_HP_TP_1_englisch.png|right|frame|Phasenfunktion $b(f)$ von Tiefpass und Hochpass]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel:}$&nbsp;
Die Grafik zeigt jeweils für die Grenzfrequenz $f_0 = 1\ \rm kHz$ und die Ordnung $N=1$ die Phasenfunktion $b(f)$
* eines Tiefpasses (englisch: ''low&ndash;pass'') als grüne Kurve, und
* eines Hochpasses (englisch: ''high&ndash;pass'') als violette  Kurve.


Das Eingangssignal sei jeweils sinusförmig mit der Frequenz $f_{\rm S} = 1.25\ {\rm kHz}$, wobei dieses Signal erst zum Zeitpunkt $t=0$ eingeschaltet wird: 
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.75cm}0  \\ \sin(2\pi \cdot f_{\rm S}  \cdot t ) \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r} }  \\   {\rm{f\ddot{u}r} }    \\ \end{array}\begin{array} \ t < 0, \\   t>0. \\ \end{array}$$

In der linken (blau umrandeten) Grafik ist dieses Signal $x(t)$ dargestellt. Der Zeitpunkt $t = T_0 = 0.8\ {\rm ms}$ der ersten Nullstelle ist durch eine gestrichelte Linie markiert. Die beiden anderen Grafiken zeigen die Ausgangssignale $y_{\rm TP}(t)$ und $y_{\rm HP}(t)$ von Tiefpass und Hochpass, wobei in beiden Fällen die Amplitudenänderungen ausgeglichen wurden.

[[Datei:Verzerrungen_HP_TP_2_version2.png|center|frame|Eingangssignal $x(t)$ sowie Ausgangssignale  $y_{\rm TP}(t)$ und $y_{\rm HP}(t)$]]

*Die erste Nullstelle des Signals $y_{\rm TP}(t)$ nach dem Tiefpass kommt um $\tau_{\rm TP} = 0.9/(2\pi) \cdot T_0 \approx 0.115 \ {\rm ms}$ später als die erste Nullstelle von $x(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; markiert mit grünem Pfeil, wobei $b_{\rm TP}(f/f_{\rm S} )= 0.9 \ {\rm rad}$ berücksichtigt wurde.
* Dagegen ist die Laufzeit des Hochpasses negativ:  $\tau_{\rm HP} = -0.67/(2\pi) \cdot T_0 \approx 0.085 \ {\rm ms}$ und die erste Nullstelle von $y_{\rm HP}(t)$ kommt deshalb vor der weißen Markierung.
*Nach diesem Einschwingvorgang kommen in beiden Fällen die Nulldurchgänge wieder im Raster der Periodendauer  $T_0 = 0.8 \ {\rm ms}.$


''Anmerkung:'' Die gezeigten Signalverläufe wurden mit dem intereaktiven Applet [[Applets:Kausale_Systeme_-_Laplacetransformation|Kausale Systeme &ndash; Laplacetransformation]] erstellt. }}

=== Dämpfungsverzerrungen und  Phasenverzerrungen  ===
<br>
[[Datei:P_ID900__LZI_T_2_3_S2_neu.png|frame| Voraussetzung für einen nichtverzerrenden Kanal|right|class=fit]]
Die nebenstehende Grafik zeigt 
*den geraden Dämpfungsverlauf $a(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $a(-f) = a(f)$, und 
*den ungeraden Phasenverlauf $b(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $b(-f) = -b(- f)$

eines verzerrungsfreien Systems. Man erkennt: 
*Bei einem verzerrungsfreien Systems muss in einem Bereich von $f_{\rm U}$ bis $f_{\rm O}$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, in dem das Signal $x(t)$ Anteile besitzt, die  Dämpfungsfunktion $a(f)$ konstant sein. 
*Aus dem angegebenen konstanten Dämpfungswert $6 \ \rm dB$ folgt für den Amplitudengang $|H(f)| = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; die Signalwerte aller Frequenzen werden somit durch das System halbiert &nbsp; &rArr; &nbsp; keine Dämpfungsverzerrungen.
*Zusätzlich muss bei einem solchen Systems der Phasenverlauf $b(f)$ zwischen $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ linear mit der Frequenz ansteigen. Dies hat zur Folge, dass alle Frequenzanteile um die gleiche Phasenlaufzeit $τ$ verzögert werden &nbsp; &rArr; &nbsp;  keine Phasenverzerrungen.
*Die Verzögerung $τ$ liegt durch die Steigung von $b(f)$ fest. Mit $b(f) = 0$ würde sich ein laufzeitfreies System ergeben  &nbsp; &rArr; &nbsp; $τ = 0$. 


Die folgende Zusammenfassung berücksichtigt, dass in diesem Applet das Einganssignal stets die Summe zweier harmonischer Schwingungen  ist:
:$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$
Damit wird der Kanaleinfluss durch die Dämpfungsfaktoren $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sowie die Phasenlaufzeiten  $\tau_1$ und $\tau_2$ vollständig beschrieben:
:$$y(t) = \alpha_1 \cdot  x_1(t-\tau_1)  +  \alpha_2  \cdot  x_2(t-\tau_2).$$

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp;
*Ein Signal $y(t)$ ist gegenüber dem Eingang $x(t)$ nur dann unverzerrt, wenn $\alpha_1 = \alpha_2= \alpha$ &nbsp;<u> und </u>&nbsp; $\tau_1 = \tau_2= \tau$ gilt &nbsp; &rArr; &nbsp; $y(t) = \alpha \cdot  x(t-\tau)$.
* Dämpfungsverzerrungen ergeben sich, falls  $\alpha_1 \ne \alpha_2$ ist . Ist $\alpha_1 \ne \alpha_2$ und $\tau_1 = \tau_2$, so liegen ausschließlich Dämpfungsverzerrungen vor. 
* Phasenverzerrungen gibt es für  $\tau_1 \ne \tau_2$. Ist $\tau_1 \ne \tau_2$ und $\alpha_1 = \alpha_2$, so liegen ausschließlich Phasenverzerrungen vor. }}

==Versuchsdurchführung==
[[Datei:Exercises_verzerrungen.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solition&rdquo;. 


Die Nummer &bdquo;0&rdquo; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.


 
{{BlaueBox|TEXT=  
'''(1)''' &nbsp; Für das Eingangssignal $x(t)$ gelte $A_1 = 0.8\ {\rm V}, \ A_2 = 0.6\ {\rm V}, \ f_1 = 0.5\ {\rm kHz}, \ f_2 = 1.5\ {\rm kHz}, \ \varphi_1 = 90^\circ, \ \varphi_2 = 30^\circ$. 
:Wie groß ist die Periodendauer $T_0$? Welche Leistung $P_x$ weist dieses Signal auf? Wo kann man diesen Wert im Programm ablesen? }}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}T_0 = \big [\hspace{-0.1cm}\text{ größter gemeinsamer Teiler }(0.5  \ {\rm kHz}, \ 1.5  \ {\rm kHz})\big ]^{-1}\hspace{0.15cm}\underline{ =  2.0 \ {\rm ms}};$ 

$\hspace{1.85cm} P_x = A_1^2/2 + A_2^2/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \ {\rm V^2}} = P_\varepsilon\text{, wenn }\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 0} \ \Rightarrow \ z(t) \equiv 0$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(2)''' &nbsp; Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter '''(1)''' die Phase $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ$. Wie ändern sich $T_0$ und $P_x$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Keine Veränderungen:}\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{ T_0 = 2.0 \ {\rm ms}; \hspace{0.2cm} P_x =  0.5 \ {\rm V^2}}$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(3)''' &nbsp; Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter '''(1)''' die Frequenz $f_2$ im Bereich $0 \le f_2 \le 5\ {\rm kHz}$. Wie ändert sich die Signalleistung $P_x$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Keine Veränderungen, falls }f_2 \ne 0\text{ und } f_2 \ne f_1\text{:}\hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{P_x =  0.5 \ {\rm V^2}}\text{.} \hspace{0.2cm} T_0 \text{ ändert sich, falls }f_2\text{ kein Vielfaches von }f_1$.

$\hspace{1.85cm}\text{Falls }f_2 = 0\text{:}\hspace{0.2cm} P_x = A_1^2/2 + A_2^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.68 \ {\rm V^2}}$. $\hspace{3cm}\text{Allgemeine Formel noch überprüfen}$

$\hspace{1.85cm}\text{Falls }f_2 = f_1\text{:}\hspace{0.2cm} P_x = [A_1 \cdot \cos(\varphi_1) + A_2 \cdot \cos(\varphi_2)]^2/2 + [A_1\sin \cdot (\varphi_1) + A_2 \cdot \sin(\varphi_2)]^2/2 \text{.  Mit } \varphi_1 = 90^\circ, \ \varphi_2 = 30^\circ\text{:}\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{ P_x =  0.74 \ {\rm V^2}}\text{.} $

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(4)''' &nbsp; Ausgehend vom bisherigen Eingangssignal $x(t)$ gelte für den Kanal: $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5, \ \tau_1 = \tau_2  = 0.5\ {\rm ms}$. Zudem sei  $k_{\rm M} = 1 \text{ und } \tau_{\rm M} = 0$ . 
:Gibt es lineare Verzerrungen? Wie groß ist die Empfangsleistung $P_y$ und die Leistung $P_\varepsilon$ des Differenzsignals $\varepsilon(t) = z(t) - x(t)$?  }}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{ y(t) = 0.5 \cdot x(t- 1\ {\rm ms})}\text{ ist unverzerrt, nur gedämpft und verzögert.}$  

$\hspace{1.85cm}\text{Empfangsleistung:}\hspace{0.2cm} P_y = (A_1/2)^2/2 + (A_2/2)^2/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125 \ {\rm V^2}}\text{.   } P_\varepsilon \text{ ist deutlich größer:} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline{P_\varepsilon = 0.625 \ {\rm V^2}}.$

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(5)''' &nbsp; Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter '''(4)''' die Matchingparameter $k_{\rm M} \text{ und } \tau_{\rm M}$. Wie groß ist die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D}\text{ ist gleich der Leistung }P_\varepsilon  \text{ des Differenzsignals bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}k_{\rm M} = 2 \text{ und } \tau_{\rm M}=T_0 - 0.5\ {\rm ms} = 1.5\ {\rm ms}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}z(t) = x(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varepsilon(t) = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm D}\hspace{0.15cm}\underline{ = P_\varepsilon = 0} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{weder Dämpfungs- noch Phasenverzerrungen.}$  

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(6)''' &nbsp; Für den Kanal gelte nun $\alpha_1 = 0.5, \hspace{0.15cm}\underline{\alpha_2 = 0.2}, \ \tau_1 = \tau_2  = 0.5\ {\rm ms}$. Wie groß sind nun die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$ und das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungsverhäldnis $(\rm SDR)$ $\rho_{\rm D}$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D} = P_\varepsilon  \text{ bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 2.24} \text{ und } \hspace{0.15cm}\underline{\tau_{\rm M} = 1.5\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} =  0.059 \ {\rm V^2}}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Nur Dämpfungsverzerrungen.} \hspace{0.3cm}\text{Signal-zu-Verzerrung-Leistungsverhältnis}\ \hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D} = P_x/P_\varepsilon \approx 8.5}$.  

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(7)''' &nbsp; Für den Kanal gelte nun $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5, \ \tau_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 2\ {\rm ms} }, \  \tau_2  = 0.5\ {\rm ms}$. Wie groß sind nun $P_{\rm D}$ und $\rho_{\rm D}$?}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D} = P_\varepsilon  \text{ bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 1.82} \text{ und } \tau_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline{  = 0.15\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} =  0.072 \ {\rm V^2}}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Nur Phasenverzerrungen.} \hspace{0.3cm}\text{Signal-zu-Verzerrung-Leistungsverhältnis}\ \hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D} = P_x/P_\varepsilon \approx 7}$.  

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(8)''' &nbsp; Die Kanalparameter seien nun $\hspace{0.15cm}\underline{\alpha_1 = 0.5} , \hspace{0.15cm}\underline{\alpha_2 = 0.2} , \ \hspace{0.15cm}\underline{\tau_1= 0.5\ {\rm ms} }, \  \hspace{0.15cm}\underline{\tau_2  = 0.3\ {\rm ms} }$. Gibt es Dämpfungs&ndash; und/oder Phasenverzerrungen? 
:Wie kann man $y(t)$ annähern?  ''Hinweis:'' $\cos(3x) = 4 \cdot \cos^3(x) - 3\cdot \cos(x).$}}


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Es gibt sowohlDämpfungs&ndash; als auch Phasenverzerrungen, weil }\alpha_1 \ne \alpha_2\text{ und }\tau_1 \ne \tau_2$. 

$\hspace{1.85cm}\text{Es gilt }y(t) = y_1(t) + y_2(t)\ \Rightarrow \ y_1(t) = A_1 \cdot \alpha_1 \cdot \sin[2\pi f_1\  (t- 0.5\ \rm ms)] = -0.4 \ {\rm V} \cdot \cos(2\pi  f_1 t)$

$\hspace{1.85cm}  y_2(t) = \alpha_2 \cdot x_2(t- \tau_2) \text{ mit }x_2(t) = A_2 \cdot \cos[2\pi f_2\  (t- 30^\circ)] \approx  A_2 \cdot \cos[2\pi f_2\  (t- 1/36 \ \rm ms)]$

$\hspace{1.85cm}  \Rightarrow \ y_2(t) = 0.12 \ {\rm V} \cdot \cos[2\pi f_2\  (t- 0.328 \ {\rm ms})] \approx -0.12 \ { \rm V} \cdot \cos[2\pi f_2t] $.

$\hspace{1.85cm}  \Rightarrow \ y(t) = y_1(t) + y_2(t) \approx -0.4 \ {\rm V} \cdot [\cos(2\pi \cdot f_1\cdot  t) + 1/3 \cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_1 \cdot t) =  -0.533 \ {\rm V} \cdot \cos^3(2\pi f_1  t)$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(9)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter von '''(8)'''.  Wie groß ist die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$ and das Signal-zu-Verzerrungsleistungsverhältnis $\rho_{\rm D}$?}}


$\hspace{1.0cm}\text{Bestmögliche Anpassung:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 1.96} \text{, } \hspace{0.15cm}\underline{\tau_{\rm M} = 1.65\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} =  0.156 \ {\rm V^2} },\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D}  = 0.500/0.156 \approx 3.2}$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(10)''' &nbsp;Nun gelte $A_2 = 0$ sowie $A_1 = 1\ {\rm V}, \ f_1 = 1\ {\rm kHz}, \varphi_1 = 0^\circ$. Der Kanal sei ein <u>Tiefpass erster Ordnung</u>  $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$. 
:Gibt es Dämpfungs&ndash; und/oder Phasenverzerrungen? Wie groß sind die Kanalkoeffizienten $\alpha_1$ and $\tau_1$?}}


$\hspace{1.0cm}\text{Bei nur einer Frequenz gibt es weder Dämpfungs&ndash; noch Phasenverzerrungen.}$
$\hspace{1.0cm}\text{Dämpfungsfaktor für }f_1=f_0\text{ und }N=1\text{:   }\alpha_1 =|H(f = f_1)| =  [1+( f_1/f_0)^2]^{-N/2} = 2^{-1/2}= 1/\sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline{=0.707},$
$\hspace{1.0cm}\text{Phasenlaufzeit für}f_1=f_0\text{ und }N=1\text{:   }\tau_1 = N \cdot \arctan( f_1/f_0)/(2 \pi f_1)=\arctan( 1)/(2 \pi f_1) =1/(8f_1) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \ \rm ms}.$

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(11)''' &nbsp; Wie ändern sich die Kanalparameter durch einen <u>Tiefpass zweiter Ordnung</u> gegenüber einem Tiefpass erster Ordnung  $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$?}} 


$\hspace{1.0cm}\text{Es gilt }\hspace{0.15cm}\alpha_1 = 0.707^2 = 0.5$ und $\tau_1 = 2 \cdot 0.125  0.25 \ {\rm ms}$.  

$\hspace{1.0cm}\text{Das Signal }y(t)\text{  ist nur halb so groß wie }x(t)\text{ und läuft diesem nach: Aus dem Cosinusverlauf wird die Sinusfunktion}$. 

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(12)''' &nbsp; Welche Unterschiede ergeben sich bei einem <u>Hochpass zweiter Ordnung</u> gegenüber einem Tiefpass zweiter Ordnung  $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$. }}


$\hspace{1.0cm}\text{Wegen }f_1 = f_0\text{ ergibt sich der gleiche Dämpfungsfaktor }\alpha_1 = 0.5\text{ und  es gilt }\tau_1 = -0.25 \ {\rm ms}\text{ Das heißt:}$.  

$\hspace{1.0cm}\text{Das Signal }y(t)\text{  ist auch hier nur halb so groß wie }x(t)\text{ und läuft diesem vor: Aus dem Cosinusverlauf wird die Minus&ndash;Sinusfunktion}$. 

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(13)''' &nbsp; Welche Unterschiede erkennen Sie am Signalverlauf $y(t)$ zwischen dem Tiefpass zweiter Ordnung und dem Hochpass zweiter Ordnung  $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$, wenn Sie vom Eingangssignal gemäß'''(1)''' ausgehen und Sie die Frequenz $f_2$ kontinuierlich bis auf $10 \ \rm kHz$ erhöhen. }}


$\hspace{1.0cm}\text{Nach dem Tiefpass  wird der zweite Anteil mehr und mehr unterdrückt. Für }f_2 =  10 \ \rm kHz\text{ gilt: }y_{\rm LP}(t) \approx 0.8 \cdot x_1(t-0.3 \ \rm ms).$   

$\hspace{1.0cm}\text{Nach dem Hochpass überwiegt dagegen der zweite Anteil. Für }f_2 =  10 \ \rm kHz\text{ gilt: }y_{\rm HP}(t) \approx 0.2 \cdot x_1(t+0.7 \ \rm ms) + x_2(t).$ .

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Handhabung_verzerrungen.png|center]]
<br>
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe für das Eingangssignal $x(t)$ per Slider: Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte

&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für die Kanalparameter: per Slider, Tiefpass oder Hochpass

&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Kanalparameter per Slider: Dämpfungsfaktoren und Phasenlaufzeiten

&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Kanalparameter für Hoch&ndash; und Tiefpass: Ordnung $n$, Grenzfrequenz $f_0$

&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Matching&ndash;Parameter $k_{\rm M}$ und $\varphi_{\rm M}$

&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der darzustellenden Signale: $x(t)$,  $y(t)$, $z(t)$, $\varepsilon(t)$, $\varepsilon^2(t)$

&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Graphische Darstellung der Signale

&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Zeit $t_*$ für die Numerikausgabe

&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe der Signalwerte $x(t_*)$,  $y(t_*)$, $z(t_*)$  und $\varepsilon(t_*)$

&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $P_\varepsilon$

&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

&nbsp; &nbsp; '''(L)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl, Aufgabenstellung und Musterlösung

&nbsp; &nbsp; '''(M)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung
 
$\hspace{1.5cm}$Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts),  &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; und &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;

$\hspace{1.5cm}$'''Andere Möglichkeiten''':

$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und Scrollen:  Zoomen im Koordinatensystem,

$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.



==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]). 
*2018 wurde dieses Programm  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) neu gestaltet und erweitert.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|verzerrungen}}

[[Category:Applets|^Verzerrungen^]]