Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 2.6Z: Synchrondemodulator


{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Lineare Verzerrungen
}}

[[Datei:P_ID913__LZI_Z_2_6_neu.png|right|frame|AM&ndash;Modulator (oben) & Synchrondemodulator (unten)]]
Das dargestellte Blockschaltbild zeigt ein Übertragungssystem mit [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] (ZSB-AM) und [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulator]] (SD). Das Quellensignal bestehe aus zwei harmonischen Schwingungen mit den Frequenzen $f_2 = 2 \ \rm kHz$ und $f_5 = 5 \ \rm kHz$:
:$$q(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(\omega_2  t )+ {1 \, \rm V}
\cdot {\rm sin}(\omega_5  t ) .$$

*Dieses Signal wird mit dem dimensionslosen Trägersignal $z(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot T)$ der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 50 \ \rm kHz$ multipliziert. Bei ZSB&ndash;AM ist der gestrichelt eingezeichnete Block unerheblich, so dass für das Sendesignal gilt:
:$$s(t) = q(t) \cdot  {\rm cos}(\omega_{\rm T}  t ) .$$

*Im Synchrondemodulator wird das Empfängersignal $r(t)$, das bei idealem Kanal identisch mit $s(t)$ ist, mit dem empfangsseitigem Trägersignal $z_{\rm E}(t)$ multipliziert, wobei gilt:
:$$z_{\rm E}(t) = K \cdot  {\rm cos}(\omega_{\rm T}  t - \Delta \varphi ) .$$

*Dieses Signal sollte nicht nur frequenzsynchron mit $z(t)$ sein, sondern auch phasensynchron  &ndash; daher der Name &bdquo;Synchrondemodulator&rdquo;. Der obige Ansatz berücksichtigt einen Phasenversatz zwischen  $z(t)$ und $z_{\rm E}(t)$, der idealerweise $\Delta \varphi = 0$ sein sollte, sich bei realen Systemen aber oft nicht vermeiden lässt.

*Das Ausgangssignal $b(t)$ des zweiten Multiplizierers beinhaltet neben dem gewünschten NF-Anteil auch Anteile um die doppelte Trägerfrequenz. Durch einen idealen Tiefpass &ndash; z.B. mit der Grenzfrequenz $f_{\rm T}$ &ndash; lässt sich das Sinkensignal $v(t)$ gewinnen, das im Idealfall gleich dem Quellensignal $q(t)$ sein sollte.


Die Multiplikation beim Sender mit dem Trägersignal $z(t)$ führt im Allgemeinen zu zwei Seitenbändern. Bei der [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] (ESB&ndash;AM) wird nur eines der beiden Bänder übertragen, zum Beispiel das untere Seitenband (USB). Damit erhält man bei idealem Kanal:
:$$r(t) = s(t)=  {1 \, \rm V} \cdot {\rm cos}((\omega_{\rm T} -
\omega_2  )t ) - {0.5 \, \rm V} \cdot {\rm sin}((\omega_{\rm T} -
\omega_5  )t ) .$$

*Hier führt die Synchrondemodulation unter Berücksichtigung eines Phasenversatzes $\Delta \varphi$, der Konstante $K = 4$  sowie des nachgeschalteten Tiefpasses zu folgendem verfälschten Sinkensignal:
:$$v(t)=  {1 \, \rm V} \cdot {1}/{2}\cdot 4 \cdot{\rm cos}(
\omega_2 t - \Delta \varphi)+ {0.5 \, \rm V} \cdot
{1}/{2}\cdot 4 \cdot{\rm sin}( \omega_5 t - \Delta \varphi)$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}v(t)=  {2 \, \rm V}  \cdot{\rm cos}(
\omega_2 t - \Delta \varphi)+ {1 \, \rm V}  \cdot{\rm sin}(
\omega_5 t - \Delta \varphi)$$

:Im Idealfall phasensynchroner Demodulation $(\Delta \varphi = 0)$ gilt wieder $v(t) = q(t).$






''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
*Die Thematik &bdquo;Amplitudenmodulation/Synchrondemodulator&rdquo; wird im Buch [[Modulationsverfahren]] noch ausführlich diskutiert.
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
*Gegeben sind die folgenden trigonometrischen Zusammenhänge:
:$$\cos^2(\alpha) =  {1}/{2} \cdot \left [ 1 + 
\cos(2\alpha) \right ] \hspace{0.05cm}, $$
:$$\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)  =   {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\alpha -
 \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \right],$$
:$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)  =   {1}/{2} \cdot \left[ \sin(\alpha -
 \beta)+ \sin(\alpha + \beta)
 \right] \hspace{0.05cm}.$$


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie lautet das Sinkensignal $v(t)$ bei ZSB-AM und phasensynchroner Synchrondemodulation  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\Delta \varphi = 0$? <br>Wie ist $K$ zu wählen, damit  $v(t) = q(t)$ gilt?
|type="{}"}
$K \ = \ $ { 2 3% }


{Es gelte $K = 2$. Geben Sie das Sinkensignal  $v(t)$ unter Berücksichtigung eines Phasenversatzes $\Delta \varphi$ an. <br>Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
|type="[]"}
- Unabhängig von $\Delta \varphi$ gilt $v(t) = q(t)$.
+ $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung.
- Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Dämpfungsverzerrungen.
- Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Phasenverzerrungen.
+ Mit $\Delta \varphi = \hspace{-0.05cm}-\hspace{0.05cm}60^\circ$ gilt $v(t) = q(t)/2$.


{Welche Aussagen gelten bei Synchrondemodulation des ESB&ndash;Signals, wenn ein Phasenversatz um $\Delta \varphi$ berücksichtigt wird?
|type="[]"}
- Unabhängig von $\Delta \varphi$ gilt $v(t) = q(t)$.
- $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung.
- Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Dämpfungsverzerrungen.
+ Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Phasenverzerrungen.
- Mit $\Delta \varphi = \hspace{-0.05cm}-\hspace{0.05cm}60^\circ$ gilt $v(t) = q(t)/2$.



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Für das Bandpass&ndash;Signal nach dem zweiten Multiplizierer gilt:
$$b(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t)= q(t) \cdot z(t) \cdot z_{\rm
E}(t)= K \cdot q(t)\cdot
 \cos^2(\omega_{\rm T} t).$$

Mit der trigonometrischen Beziehung $\cos^2(\omega_{\rm T} t)  =   {1}/{2} \cdot\left[ 1  +
 \cos(2\omega_{\rm T} t)\right]$ erhält man
$$b(t) = {K}/{2} \cdot q(t) + {K}/{2} \cdot q(t)\cdot
 \cos(2\omega_{\rm T} t).$$

Der zweite Anteil liegt um die doppelte Trägerfrequenz &nbsp;&rArr;&nbsp; $2 f_{\rm T}$ und wird durch den Tiefpass (zum Beispiel mit der Grenzfrequenz $  f_{\rm G} = f_{\rm T}$) entfernt. Damit erhält man: $v(t) = {K}/{2} \cdot q(t) .$ Mit $\underline {K = 2}$ ergibt sich eine ideale Demodulation &nbsp;&rArr;&nbsp; $v(t) =  q(t) .$


'''(2)'''&nbsp; Unter Berücksichtigung der Beziehung
:$$\cos(\omega_{\rm T} t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} t - \Delta \varphi)  =  {1}/{2} \cdot
  \left[ \cos(\Delta \varphi)+ \cos(2\omega_{\rm T} t - \Delta \varphi) \right]$$

sowie des nachgeschalteten Tiefpasses, der wieder den Anteil um die doppelte Trägerfrequenz entfernt, erhält man hier mit $ {K = 2}$:
$$v(t) = q(t) \cdot \cos(\Delta \varphi).$$

Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
*Ein Phasenversatz $\Delta \varphi$ führt hier nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und nicht zu Dämpfungs&ndash; oder Phasenverzerrungen. 
*Ein Phasenversatz um $\varphi =\pm 60^\circ$ hat jeweils eine Halbierung des Signals zur Folge. 


'''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier <u>nur der Lösungsvorschlag 4</u>. 
*Bei beiden Summanden tritt genau der gleiche Phasenversatz $\Delta \varphi$ auf, und es kommt hier zu Phasenverzerrungen:
:$$v(t)=  {2 \, \rm V}  \cdot{\rm cos}( \omega_2 \cdot (t - \tau_2))+
{1 \, \rm V}  \cdot{\rm sin}( \omega_5 t \cdot (t - \tau_5)),$$
:$${\rm wobei}\hspace{0.5cm}\tau_2 = \frac{\Delta \varphi}{\omega_2}
\hspace{0.5cm}\ne \hspace{0.5cm} \tau_5 = \frac{\Delta
\varphi}{\omega_5}.$$

*Ein Phasenversatz von $\varphi =60^\circ$ entsprechend $\pi/3$ führt hier zu den Verzögerungszeiten:
:$$\tau_2  =  \frac{\pi/3}{2 \pi \cdot 2\,\,{\rm  kHz }} \approx
83.3\,{\rm \mu s }, \hspace{0.5cm}
\tau_5  =  \frac{\pi/3}{2 \pi \cdot 5\,\,{\rm  kHz }} \approx
33.3\,{\rm \mu s }.$$

*Das niederfrequentere Signal wird also stärker verzögert.
{{ML-Fuß}}



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