Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Rechtecksignal mit Echo


{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Faltungssatz und Faltungsoperation
}}

[[Datei:P_ID531__Sig_Z_3_7_neu.png|right|frame|Sendesignal $s(t)$ und Signal $r(t)$ mit Echo]]
Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $s(t)$ mit den möglichen Amplitudenwerten $0\hspace{0.02cm}\text{ V}$ und $2\hspace{0.02cm}\text{ V}$ und der Periodendauer $T_0 = T = 1 \hspace{0.02cm}\text{ms}$. Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils $1\hspace{0.05cm}\text{ V}$. Der Gleichanteil (also der Fourierkoeffizient $A_0$) des Signals ist ebenfalls $1\hspace{0.02cm}\text{ V}$. Weiter gilt:

* Aufgrund der Symmetrie (gerade Funktion) sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.

* Die Koeffizienten $A_n$ mit geradzahligem $n$ sind ebenfalls $0$.

* Für ungeradzahlige Werte von $n$ gilt hingegen:
:$$A_n  = ( { - 1} )^{\left( {n - 1} \right)/2}  \cdot \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{n \cdot {\rm{\pi }}}}.$$

Das Signal $s(t)$ gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze): Einmal auf dem direkten Pfad und zum zweiten über einen Nebenpfad. Dieser ist durch den Dämpfungsfaktor $\alpha$ und die Laufzeit $\tau$ gekennzeichnet. Daher gilt für das Empfangssignal:
:$$r(t) = s(t) + \alpha  \cdot s( {t - \tau } ).$$
Der Frequenzgang des Kanals ist $H(f) = R(f)/S(f)$, die Impulsantwort wird mit $h(t)$ bezeichnet.





''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
*Wichtige Informationen finden Sie insbesondere auf der Seite [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_einer_Funktion_mit_einer_Diracfunktion|Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion]].
 


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Impulsantwort $h(t)$ zu?
|type="[]"}
- Für $0 ≤ t < \tau$ gilt $h(t) = 1$, für $t  > \tau$ ist $h(t) = 1 + \alpha$.
+ Es gilt $h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta(t – \tau)$.
- $h(t)$ hat einen gaußförmigen Verlauf.


{Berechnen Sie das Signal $r(t)$ für die Kanalparameter $\alpha = -0.5$ und $\tau = T/4$. Welche Werte ergeben sich zu den angegebenen Zeiten?
|type="{}"}
$r(t = 0.2 \cdot T)\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
$r(t = 0.3 \cdot T)\ = \ $ { -1.03--0.97 } &nbsp;$\text{V}$


{Berechnen Sie das Signal $r(t)$ mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. <br>Welcher Wert ergibt sich bei $t = T/2$?
|type="{}"}
$r(t = T/2)\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
*Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt $t = 0$ anliegt:
:$$h(t) = \delta (t) + \alpha  \cdot \delta( {t - \tau } ).$$


[[Datei:P_ID532__Sig_Z_3_7_b_neu.png|right|frame|Faltung von Rechtecksignal $s(t)$ und Impulsantwort $h(t)$]]
'''(2)'''&nbsp;   Es gilt $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:

Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein:

* $0.00 < t/T < 0.25\text{:}\hspace{0.4cm}   r(t) = -1\hspace{0.02cm}\text{ V}$,
* $0.25 < t/T < 0.50\text{:}\hspace{0.4cm}  r(t) = -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
* $0.50 < t/T < 0.75\text{:}\hspace{0.4cm}   r(t) = 0 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
* $0.75 < t/T < 1.00\text{:}\hspace{0.4cm}  r(t) = +2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$.


Die gesuchten Werte sind somit $r(t = 0.2 \cdot T) \hspace{0.15cm}\underline{= +1 \hspace{0.02cm}\text{ V}}$ und $r(t = 0.3 · T) \hspace{0.15cm}\underline{= -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}}$.


'''(3)'''&nbsp;  Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter (2) erhält man für $r(t)$ ein Gleichsignal von $2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$: 
*Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t – T/2)$ vollständig aufgefüllt. 
*Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten. Der Kanalfrequenzgang lautet mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$:
:$$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT}  = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
*Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw.. 
*Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real- als auch der Imaginärteil von ${H(f)}$ gleich Null. 
*Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 \text{ V}$ und $H(f = 0) = 2$:
:$$R(f) = A_0  \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$
Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$.
{{ML-Fuß}}


__NOEDITSECTION__
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]