Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 5.2: Fehlerkorrelationsfunktion


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle}}

[[Datei:P_ID1854__Dig_A_5_2_version1.png|right|frame|Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände und Fehlerkorrelationsfunktion]]
Zur Charakterisierung von digitalen Kanalmodellen verwendet man unter Anderem 
* die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)
:$$\varphi_{e}(k) = {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu +
k}]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 0\hspace{0.05cm},$$

* die Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
:$${\rm Pr}( a =k)  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge
1\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnen:
* $&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$ ist die Fehlerfolge mit $e_{\rm \nu} &#8712; \{0, 1\}$. 
* $a$ gibt den Fehlerabstand an.


Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand $a = 1$ gekennzeichnet.

Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$. Einige Angaben fehlen in der Tabelle. Diese Werte sollen aus den gegebenen Werten berechnet werden.



''Hinweise:''
* Die Aufgabe behandelt den Lehrstoff des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle| Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle]].
 


===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Welcher Wert ergibt sich für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit?
|type="{}"}
$p_{\rm M} \ = \ ${ 0.1 3% }

{Welcher Wert ergibt sich für den mittleren Fehlerabstand?
|type="{}"}
${\rm E}[a] \ = \ ${ 10 3% }

{Berechnen Sie den Wert der Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) für $k = 1$.
|type="{}"}
$\varphi_e(k = 1) \ = \ ${ 0.0309 3% } 

{Welche Näherung gilt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstands $a = 2$?
|type="{}"}
${\rm Pr}(a = 2) \ = \ ${ 0.1715 3% } 
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist gleich dem FKF&ndash;Wert für $k = 0$. Wegen $e_{\nu} &#8712; \{0, 1\}$ gilt nämlich:
:$$\varphi_{e}(k = 0) = {\rm E}[e_{\nu}^2 ]= {\rm E}[e_{\nu} ]=
p_{\rm M} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1}
\hspace{0.05cm}.$$

'''(2)'''&nbsp; Der mittlere Fehlerabstand ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit. Das heißt: $E[a] = 1/p_{\rm M} \ \underline {= 10}$.


'''(3)'''&nbsp; Nach der Definitionsgleichung und dem [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit| Satz von Bayes]] erhält man folgendes Ergebnis:
:$$\varphi_{e}(k = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm
E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + 1}] = {\rm E}[(e_{\nu} = 1) \cdot
(e_{\nu + 1}=1)]={\rm Pr}(e_{\nu + 1}=1
\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot {\rm
Pr}(e_{\nu} = 1)
 \hspace{0.05cm}.$$

Die erste Wahrscheinlichkeits ist gleich ${\rm Pr}(a = 1)$ und die zweite Wahrscheinlichkeit ist gleich $p_{\rm M}$:
:$$\varphi_{e}(k = 1) = 0.3091 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0309}
 \hspace{0.05cm}.$$

'''(4)'''&nbsp; Der FKF&ndash;Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden:
:$$\varphi_{e}(k = 2) ={\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1
\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot p_{\rm M} \hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1
\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = \frac{\varphi_{e}(k
= 2)}{p_{\rm M}} = \frac{0.0267}{0.1} = 0.267\hspace{0.05cm}.$$

Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus den beiden Möglichkeiten &bdquo;Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf&rdquo; sowie &bdquo;Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler&rdquo;:
:$${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} =
1) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2)\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}( a =2)= 0.267 - 0.3091^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1715}\hspace{0.05cm}.$$

Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind. 
*Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als &bdquo;erneuernd&rdquo; bezeichnet. 
*Das hier betrachtete Bündelfehlermodell erfüllt diese Bedingung nicht. 
*Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$ weicht deshalb vom hier berechneten Wert ($0.1715$) geringfügig ab.

{{ML-Fuß}}

[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.1 Zu den Digitalen Kanalmodellen^]]