Quelltext der Seite Mobile Kommunikation/Das GWSSUS–Kanalmodell

 
{{Header
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== Verallgemeinerte Systemfunktionen zeitvarianter Systeme ==
<br>
Während es bei linearen zeitinvarianten Systemen ('''LZI''') mit der Übertragungsfunktion $H(f)$  und der Impulsantwort $h(t)$ &ndash; nach Umbenennung $h(\tau)$ &ndash; nur zwei das System vollständig beschreibende Systemfunktionen gibt, sind bei zeitvarianten Systemen ('''LZV''') vier verschiedene Funktionen möglich. Eine formale Untersscheidung dieser Funktionen hinsichtlich Zeit&ndash; und Frequenzbereichsdarstellung durch Klein&ndash; und Großbuchstaben ist damit ausgeschlossen.<br>

Deshalb nehmen wir nun eine Nomenklaturänderung vor, die sich wie folgt formalisieren lässt:
*Die vier möglichen Systemfunktionen werden einheitlich mit $\boldsymbol{\eta}_{12}$ bezeichnet.<br>

*Der erste Index ist entweder ein $\boldsymbol{\rm V}$ (Verzögerungszeit $\tau$) oder ein $\boldsymbol{\rm F}$ (Frequenz $f$).<br>

*Als zweiter Index ist entweder ein $\boldsymbol{\rm Z}$ (Zeit $t$) oder ein $\boldsymbol{\rm D}$ (Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$) möglich.<br><br>

Da beim Mobilfunk im Gegensatz zur leitungsgebundenen Übertragung die Systemfunktionen nicht deterministisch beschrieben werden können, sondern statistische Größen sind, müssen später noch entsprechende Korrelationsfunktionen betrachtet werden. Diese bezeichnen wir im Folgenden einheitlich mit $\boldsymbol{\varphi}_{12}$, und verwenden gleiche Indizes wie für die Systemfunktionen  $\boldsymbol{\eta}_{12}$.<br>

Diese formalisierten Bezeichnungen sind in der folgenden Grafik in blauer Schrift eingetragen. Zusätzlich sind  die in anderen Kapiteln oder der Literatur verwendeten Bezeichnungen angegeben (graue Schrift). In den weiteren Kapiteln werden diese teilweise ebenfalls benutzt.<br>

[[Datei:P ID2165 Mob T 2 3 S1 v1.png|center|frame|Zusammenhang zwischen den vier Systemfunktionen|class=fit]]

*Oben erkennt man die '''zeitvariante Impulsantwort''' ${\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$ im ''Verzögerungs&ndash;Zeit&ndash;Bereich'', bisher mit $h(\tau,\hspace{0.05cm} t)$ bezeichnet. Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) ist
::<math>\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \big [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1,\hspace{0.05cm}  t_1) \cdot 
 \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \big ]\hspace{0.05cm}. </math>

*Zur <i>Frequenz&ndash;Zeit&ndash;Darstellung</i> (rechter Block) kommt man durch eine Fouriertransformation bezüglich der Verzögerung $\tau$. Man erhält so die '''zeitvariante Übertragungsfunktion''' $H(f,\hspace{0.05cm} t) = {\eta}_{\rm FZ}(f,\hspace{0.05cm} t)$. Die Fouriertransformation hinsichtlich $\tau$ ist in der Grafik durch ${\rm F}_\tau\hspace{0.05cm}[ \cdot ]$ angedeutet. Ausgeschrieben lautet das Fourierintegral:
::<math>\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm} t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm}  t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau 
 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{kurz:} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t)
 \hspace{0.2cm}  \stackrel{f, \hspace{0.05cm} \tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)
 \hspace{0.05cm}.</math>

:Die AKF dieser zeitvarianten Übertragungsfunktion lautet allgemein:

::<math>\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) = {\rm E} \big [ \eta_{\rm FZ}(f_1, t_1) \cdot 
 \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \big ]\hspace{0.05cm}.</math>

*Die '''Scatter&ndash;Funktion''' ${\eta}_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ entsprechend dem linken Block &ndash; manchmal auch mit $s(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ bezeichnet &ndash;  beschreibt den Mobilfunkkanal im ''Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Bereich''. Der Funktionsparameter $f_{\rm D}$ bezeichnet hierbei die [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| Dopplerfrequenz]]. Die Scatter&ndash;Funktion ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort  ${\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$ durch Fouriertransformation bezüglich des zweiten Parameters $t$:

::<math> \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})
 \hspace{0.2cm}  \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\hspace{0.3cm} 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}, \tau_2, f_{\rm D_2}) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}) \cdot 
 \eta_{\rm VD}^{\star}(\tau_2, f_{\rm D_2}) \right ]
 \hspace{0.05cm}.</math>

*Abschließend betrachten wir noch die so genannte '''frequenzvariante Übertragungsfunktion''', also die ''Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Darstellung''. Entsprechend der Grafik gelangt man zu dieser auf zwei Wege:

::<math>\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})
 \hspace{0.2cm}  \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t)\hspace{0.05cm},</math>

::<math>\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})
 \hspace{0.2cm}  \stackrel{f, \hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.</math>


<i>Hinweise:</i> 
*Die angegebenen Fourier&ndash;Zusammenhänge  zwischen den Systemfunktionen in der Grafik sind durch die äußeren, dunkelgrünen Pfeile veranschaulicht und mit ${\rm F}_p\hspace{0.05cm}[ \cdot ]$ bezeichnet. $p$ gibt an, auf welchen Parameter $\tau$, $f$, $t$ oder  $f_{\rm D}$ sich die Fouriertransformation bezieht.
*Die inneren (helleren) Pfeile kennzeichnen jeweils die Verknüpfungen über die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|inverse Fouriertransformation]] (Fourierrücktransformation). Hierfür verwenden wir die Notation ${{\rm F}_p}^{-1}\hspace{0.05cm}[ \cdot ]$.
*Das Applet [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]] verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Zeit&ndash; und Frequenzbereich, formelmäßig beschreibbar durch Fouriertransformation und Fourierrücktransformation.<br>


== Vereinfachungen aufgrund der GWSSUS–Voraussetzungen ==
<br>
Der allgemeine Zusammenhang zwischen den vier Systemfunktionen ist aufgrund nichtstationärer Effekte sehr kompliziert. Es müssen gegenüber dem allgemeinen Modell einige Einschränkungen getroffen werden, um zu einem geeigneten Modell für den Mobilfunkkanal zu gelangen, aus dem sich relevante Aussagen für praktische Anwendungen ableiten lassen.<br>

Man kommt zum '''GWSSUS'''&ndash;Modell (<i><b>G</b>aussian <b>W</b>ide <b>S</b>ense <b>S</b>tationary <b>U</b>ncorrelated <b>S</b>cattering</i>) durch folgende Festlegungen:
*Der Zufallsprozess der Kanalimpulsantwort $h(\tau,\hspace{0.05cm} t) = {\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$ wird allgemein als komplex (also Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich), gaußisch (Kennung <b>G</b>) sowie als mittelwertfrei (Rayleigh, nicht Rice, also keine Sichtverbindung) angenommen.<br>

*Der Zufallsprozess sei schwach stationär, das heißt, seine Kenngrößen ändern sich  mit der Zeit nur geringfügig, und die AKF $ {\varphi}_{\rm VZ}(\tau_1,\hspace{0.05cm} t_1,\hspace{0.05cm}\tau_2,\hspace{0.05cm} t_2)$ der zeitvarianten Impulsantwort hängt nicht mehr von den absoluten Zeiten $t_1$ und $t_2$ ab, sondern nur noch von der Zeitdifferenz $\Delta t = t_2 - t_1$. Darauf weist die Kennung <b>WSS</b> &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <i><b>W</b>ide <b>S</b>ense <b>S</b>tationary</i> hin.<br>

*Die einzelnen Echos aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind unkorreliert, was die Kennung <b>US</b>  &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;  <i><b>U</b>ncorrelated <b>S</b>cattering</i> ausdrückt.<br>


[[Datei:P ID2166 Mob T 2 3 S2 v1.png|center|frame|Zusammenhänge zwischen den Beschreibungsfunktionen des GWSSUS–Modells|class=fit]]

Der Mobilfunkkanal lässt sich entsprechend dieser Grafik vollständig beschreiben. Auf die einzelnen Leistungsdichtespektren (blau beschriftet) und die Korrelationsfunktion (mit roter Schrift) wird auf den nächsten Seiten noch im Detail eingegangen.<br>

== Autokorrelationsfunktion der zeitvarianten Impulsantwort==
<br>
Wir  betrachten nun die [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]] (AKF) der zeitvarianten Impulsantwort &nbsp;&#8658;&nbsp;  $h(\tau,\hspace{0.05cm} t) = {\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$ genauer. Es zeigt sich:

*Aufgrund der <b>WSS</b>&ndash;Eigenschaft lässt sich mit $\Delta t = t_2 - t_1$ für die Autokorrelationsfunktion schreiben:

::<math>\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = \varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t)\hspace{0.05cm}.</math>

*Da die Echos als unabhängig voneinander vorausgesetzt wurden (<b>US</b>&ndash;Eigenschaft), kann man die Impulsantwort bezüglich den Verzögerungen $\tau_1$ und $\tau_2$ als unkorreliert annehmen. Dann gilt:

::<math>\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t) = 0 \hspace{0.35cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.35cm} \tau_1 \ne \tau_2\hspace{0.05cm}. </math>

*Ersetzt man nun $\tau_1$ durch $\tau$ und $\tau_2$ durch $\tau +  \Delta \tau$, so lässt sich diese Autokorrelationsfunktion in folgender Weise darstellen:

::<math>\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}. </math>

*Wegen der Ausblendeigenschaft der Diracfunktion  verschwindet die AKF für $\tau_1 \ne \tau_2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\Delta \tau \ne 0$. 
*$ {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}$ nennt man das <i>Verzögerungs&ndash;Zeit&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum</i>, das von der Verzögerung $\tau \ (= \tau_1 =\tau_2)$ und zusätzlich von der Zeitdifferenz $\Delta t = t_2 - t_1$ abhängt.<br><br>

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp; 
*Bei dieser Betrachtungsweise  hängen Autokorrelationsfunktion $\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$ und Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) $ nicht wie sonst üblich über die Fouriertransformation zusammen, sondern sind über eine Diracfunktion verknüpft.
*Nicht alle Symmetrieeigenschaften, die aus dem [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine| Wiener&ndash;Chintchine&ndash;Theorem]] folgen, sind somit auch hier gegeben. Insbesondere ist es durchaus möglich und sogar sehr wahrscheinlich, dass ein solches Leistungsdichtespektrum eine ungerade Funktion ist.}}<br>

In der Übersicht auf der letzten Seite ist  das '''Verzögerungs&ndash;Zeit&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum''' ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) $ oben in der Mitte zu erkennen. Da $\eta_{\rm VZ}(\tau,  t) $ wie jede beliebige [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]] die Einheit $\rm [1/s]$ aufweist, hat die Autokorrelationsfunktion

::<math>\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot 
 \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau + \Delta \tau, t + \Delta t) \right ]</math>

die Einheit $\rm [1/s^2]$. Da aber auch die Diracfunktion mit Zeitargument, also $\delta(\Delta \tau)$, die Einheit $\rm [1/s]$ aufweist, besitzt das Verzögerungs&ndash;Zeit&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) $ ebenfalls die Einheit $\rm [1/s]$:

::<math>\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.</math>

==Leistungsdichtespektrum der zeitvarianten Impulsantwort==
<br>
[[Datei:P ID2170 Mob T 2 3 S3a v2.png|right|frame|Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum|class=fit]]
Zum '''Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum''' ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$ kommt man, indem man in der Funktion ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$ den zweiten Parameter $\Delta t = 0$ setzt. Die Grafik zeigt einen beispielhaften Verlauf.<br>

Das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum ist eine zentrale Größe für die Beschreibung des Mobilfunkkanals. Diese weist folgende Eigenschaften auf:
*${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau_0)$ ist ein Maß für die &bdquo;Leistung&rdquo; derjenigen Signalanteile, die um $\tau_0$ verzögert werden. Es wird hierfür implizit eine Mittelung über alle Dopplerfrequenzen $(f_{\rm D})$ vorgenommen.<br>

*Das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$ hat wie ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$ die Einheit $\rm [1/s]$. Es charakterisiert die Leistungsverteilung über alle möglichen Verzögerungszeiten $\tau$.<br>

*In obiger Grafik farblich markiert ist die Leistung $ P_0 \approx {\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau_0)\cdot \Delta \tau$  solcher Signalanteile, die beim Empfänger über beliebige Pfade mit einer Verzögerung zwischen $\tau_0 \pm \Delta \tau/2$ eintreffen.<br>

*Normiert man das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$ derart, dass sich die Fläche $1$ ergibt, so erhält man die ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'' (WDF) der Verzögerungszeit:

::<math>{\rm WDF}_{\rm V}(\tau) = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}{\int_{0 }^{\infty}{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau} \hspace{0.05cm}.</math>

''Anmerkung zur Nomenklatur'': Im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo; hätten wir diese [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] mit $f_\tau(\tau)$ bezeichnet. Um den Zusammenhang zwischen  ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$ und der WDF deutlich werden zu lassen und Verwechslungen mit der Frequenz $f$ zu vermeiden, verwenden wir die hier angegebene  Nomenklatur.<br>

{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 1: Verzögerungsmodelle nach COST 207}$
<br>

In den 1990er Jahren gründete die Europäische Union die Arbeitsgruppe COST 207 mit dem Ziel, standardisierte Kanalmodelle für den zellularen Mobilfunk bereitzustellen. Hierbei  steht &bdquo;COST&rdquo; für <i>European Cooperation in Science and Technology</i>.<br>

In diesem internationalen Gremium wurden Profile für die Verzögerungszeit $\tau$ entwickelt, basierend auf Messungen und gültig für unterschiedliche Anwendungsszenarien. Im Folgenden werden vier verschiedene Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektren angegeben, wobei stets der  Normierungsfaktor ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$ verwendet wird:
*Profil $\rm RA$ (englisch <i>Rural Area</i>) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; ländliches Gebiet:
::<math>{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} 
 \hspace{0.15cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 0.7\,{\rm &micro;  s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.109\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm}.</math>

*Profil $\rm TU$ (englisch <i>Typical Urban</i>) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Städte und Vororte:
::<math>{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} 
 \hspace{0.15cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 7\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm}.</math>

*Profil $\rm BU$ (englisch <i>Bad Urban</i>) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; ungünstige Bedingungen in Städten:
::<math>{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)/{\it \Phi}_{\rm 0} 
 = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\
 0.5 \cdot {\rm e}^{ (5\,{\rm &micro; s}-\tau) / \tau_0}   \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}l} \hspace{-0.05cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 5\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm},
\\  \hspace{-0.05cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 5\,{\rm &micro; s} < \tau < 10\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm &micro; s} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}</math>

*Profil $\rm HT$ (englisch <i>Hilly Terrain</i>) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; hügeliges Gebiet und Bergland:
::<math>{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)/{\it \Phi}_{\rm 0}  
 = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\
 0.04 \cdot {\rm e}^{ (15\,{\rm &micro; s}-\tau) / \tau_0}   \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}l} \hspace{-0.4cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 2\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.286\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm},
\\  \hspace{-0.4cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 15\,{\rm &micro; s} < \tau < 20\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm &micro; s} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}</math>

[[Datei:P ID2175 Mob T 2 3 S4a v1.png|center|frame|Verzögerungs–Leistungsdichte nach COST|class=fit]]

Die Grafik zeigt die Verzögerungs&ndash;Leistungsdichte dieser Profile in logarithmischer Darstellung. 

*Aus den Exponentialfunktionen bei linearer Darstellung werden nun geradlinige Verläufe.<br>
*Bei dieser logarithmischen Darstellung kann man den LDS&ndash;Parameter $\tau_0$ bei $\rm 10 \cdot  lg \ (1/e) = -4.34 \ dB$ ablesen, wie in der Grafik für das $\rm TU$-Profil eingezeichnet.  
*Auf diese vier COST&ndash;Profile wird in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.8:_COST-Verzögerungsmodelle|Aufgabe 2.8]] noch genauer eingegangen.}}
<br clear =all>

== AKF und LDS der frequenzvarianten Übertragungsfunktion ==
<br>
Die in der [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS–Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Übersicht auf der ersten Seite dieses Kapitels]] unten dargestellte Systemfunktion $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ wird auch ''frequenzvariante Übertragungsfunktion'' genannt, wobei sich das Adjektiv &bdquo;frequenzvariant&rdquo; auf die Dopplerfrequenz bezieht. 

Die dazugehörige AKF ist wie folgt definiert:

::<math>\varphi_{\rm FD}(f_1, f_{\rm D_1}, f_2, f_{\rm D_2}) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FD}(f_1, f_{\rm D_1}) \cdot 
 \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, f_{\rm D_2}) \right ]\hspace{0.05cm}. </math>

Durch ähnliche Überlegungen wie auf der [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS–Kanalmodell#Autokorrelationsfunktion_der_zeitvarianten_Impulsantwort|vorletzten Seite]] kann man diese Autokorrelationsfunktion unter GWSSUS&ndash;Bedingungen wie folgt darstellen:

::<math>\varphi_{\rm FD}(\Delta f, \Delta f_{\rm D}) = \delta(\Delta f_{\rm D}) \cdot {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.</math>

Dabei gilt:
*${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$ ist das sogenannte <i>Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum</i>, das in der Grafik am Seitenende durch gelbe Hinterlegung hervorgehoben ist.<br>

*Das erste Argument $\Delta f = f_2 - f_1$ berücksichtigt, dass AKF und LDS aufgrund der <i>Stationarität</i> nur von der Frequenzdifferenz abhängen. Der Faktor $\delta (\Delta  f_{\rm D})$ mit  $\Delta  f_{\rm D} = f_{\rm D_2} - f_{\rm D_1}$  drückt die <i>Unkorreliertheit</i> der AKF bezüglich der Dopplerverschiebung aus.<br>

*Man kommt von ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$ zum '''Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrum''' ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$, wenn man $\Delta f= 0$ setzt. ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ gibt an, mit welcher Leistung einzelne Dopplerfrequenzen auftreten.<br>

*Die <i>Wahrscheinlichkeitsdichte</i> der Dopplerfrequenz ergibt sich aus ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ durch geeignete Flächennormierung. Die WDF weist wie ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ die Einheit $\rm [1/Hz]$ auf:

::<math>{\rm WDF}_{\rm D}(f_{\rm D}) = \frac{{\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})}{\int_{-\infty }^{+\infty}{\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D}} \hspace{0.05cm}.</math>

*Oft, so zum Beispiel für eine vertikale Monopulsantenne im isotrop gestreuten Feld, ist ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ durch das [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading| Jakes&ndash;Spektrum]] gegeben.<br><br>

[[Datei:P ID2173 Mob T 2 3 S5 v1.png|center|frame|Zur Berechnung des Doppler–Leistungsdichtespektrums|class=fit]]

Das <i>Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum</i> ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$ ist in der Grafik gelb hinterlegt. Eingezeichnet sind  auch die Fourierzusammenhänge zu den benachbarten GWSSUS&ndash;Systembeschreibungsfunktionen.<br>

Wir verweisen hier auf das interaktive Applet [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts_(Applet)|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]].


== AKF und LDS der Verzögerungs–Doppler–Funktion ==
<br>
Die in der  [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS–Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Übersicht auf der ersten Seite dieses Kapitels]]  links dargestellte Systemfunktion wurde mit $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ bezeichnet. Die AKF dieser Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion kann unter Berücksichtigung der GWSSUS&ndash;Eigenschaften mit $\Delta \tau = \tau_2 - \tau_1$ und $\Delta f_{\rm D} = f_{\rm D2} - f_{\rm D1}$  wie folgt geschrieben werden:

::<math>\varphi_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}, \tau_2, f_{\rm D_2}) = \varphi_{\rm VD}(\Delta \tau, \Delta f_{\rm D}) = 
 \delta(\Delta \tau) \cdot {\rm \delta}(\Delta f_{\rm D}) \cdot {\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.</math>

Zu dieser Gleichung ist anzumerken:
*Die erste Diracfunktion $\delta (\Delta  \tau)$ berücksichtigt, dass die Verzögerungen unkorreliert sind (&bdquo;<i>Uncorrelated Scattering</i>&rdquo;). 
*Die zweite Diracfunktion $\delta (\Delta   f_{\rm D})$ folgt aus der Stationarität (&bdquo;<i>Wide Sense Stationary</i>&rdquo;).<br>

*Das Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ &ndash; auch '''Scatter&ndash;LDS''' genannt &ndash; kann aus ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t)$ bzw. ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$ wie folgt berechnet werden:

::<math>{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) ={\rm F}_{\Delta t} \big [ {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \big ]
 = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm D} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\Delta t}\hspace{0.15cm}{\rm d}\Delta t \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = {\rm F}_{f_{\rm D}}^{-1} \big [ {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \big ]
 = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \cdot {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \tau \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta f}\hspace{0.15cm}{\rm d}\Delta f \hspace{0.05cm}. </math>

*Sowohl die Systemfunktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ als auch die abgeleiteten Funktionen $\varphi _{\rm VD}(\Delta  \tau, \Delta  f_{\rm D})$ und ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ sind dimensionslos. Nähere Angaben hierüber finden Sie in der Angabe zu [[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_Einheiten_bei_GWSSUS|Aufgabe 2.6]].

*Weiterhin ist bei Erfüllung der GWSSUS&ndash;Voraussetzungen die Scatterfunktion gleich dem Produkt aus Verzögerungs&ndash; und Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrum:

::<math>{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.</math>

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Abbildung fasst die bisherigen Ergebnisse dieses Kapitels zusammen. Festzuhalten ist:  
[[Datei:P ID2171 Mob T 2 3 S6 v1.png|right|frame|Eindimensionale Beschreibungsfunktion des GWSSUS–Modells|class=fit]]
Der Einfluss der Verzögerungszeit (Laufzeit)  $\tau$ und der Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ lässt sich  separieren 
*in das blaue Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$, und 
*das rote Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$.<br>


Das 2D&ndash;Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ ist gleich dem Produkt aus diesen beiden Anteilen.}}
<br clear=all>
== AKF und LDS der zeitvarianten Übertragungsfunktion ==
<br>
Die folgende Grafik zeigt alle Zusammenhänge zwischen den einzelnen Leistungsdichtespektren nochmals in kompakter Form. Auf den letzten Seiten wurden dabei bereits behandelt:
[[Datei:P ID2176 Mob T 2 3 S7 v1.png|right|frama|Zusammenstellung aller GWSSUS–Beschreibungsgrößen|class=fit]]

*[[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS–Kanalmodell#Autokorrelationsfunktion_der_zeitvarianten_Impulsantwort|Verzögerungs&ndash;Zeit&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum]]:
:$${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t)\hspace{0.55cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{mit}  \hspace{0.2cm}\Delta t = 0\text{:}  \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau),$$
*[[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#AKF_und_LDS_der_frequenzvarianten_.C3.9Cbertragungsfunktion |Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum]]:
:$${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{mit}  \hspace{0.2cm}\Delta f = 0\text{:}  \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm D}( f_{\rm D}),$$
*[[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#AKF_und_LDS_der_Verz.C3.B6gerungs.E2.80.93Doppler.E2.80.93Funktion |Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum]]:
:$${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})= {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.$$
<br clear=all>
Bisher noch nicht betrachtet wurde dagegen die gelb markierte '''Frequenz&ndash;Zeit&ndash;Korrelationsfunktion''':

::<math>\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FZ}(f_1, t_1) \cdot 
 \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.</math>

Berücksichtigt man wieder die GWSSUS&ndash;Vereinfachungen sowie die Identität $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm}t) = H(f, \hspace{0.05cm}t)$, so lässt sich die AKF mit $\Delta f = f_2 - f_1$ und $\Delta t = t_2 - t_1$ auch wie folgt schreiben:

::<math>\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t)
 = {\rm E} \big [ H(f, t) \cdot 
 H^{\star}(f + \Delta f, t + \Delta t) \big ]\hspace{0.05cm}.</math>

Hierzu ist anzumerken:
*Schon an der Namensgebung ist zu erkennen, dass $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t)$ eine Korrelationsfunktion ist und kein Leistungsdichtespektrum wie die Funktionen ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t)$,  ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$ und ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$.<br>

*Die Fourierzusammenhänge mit den benachbarten Funktionen lauten:

::<math>{\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) 
 \hspace{0.2cm}  \stackrel{\tau, \hspace{0.05cm}\Delta f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \hspace{0.05cm}\Delta t)
 \hspace{0.2cm}  \stackrel{\Delta t,\hspace{0.05cm} f_{\rm D}}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})
 \hspace{0.05cm}.</math>

*Setzt man in dieser zweidimensionalen Funktion die Parameter $\Delta t  = 0$ bzw. $\Delta f  = 0$, so ergeben sich die separaten Korrelationsfunktionen für den Frequenz&ndash; bzw. Zeitbereich:

::<math>\varphi_{\rm F}(\Delta f) =  \varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t = 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\varphi_{\rm Z}(\Delta t) =  \varphi_{\rm FZ}(\Delta f = 0, \Delta t ) \hspace{0.05cm}.</math>

*Aus obiger Grafik wird auch deutlich, dass diese Korrelationsfunktionen mit den hergeleiteten Leistungsdichtespektren wieder über die Fouriertransformation korrespondieren:

::<math>\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{0.2cm}  {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}, 
\hspace{0.4cm}\varphi_{\rm Z}(\Delta t) \hspace{0.2cm}  {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.</math><br>

== Kenngrößen des GWSSUS–Modells==
<br>
Entsprechend den Ergebnissen der letzten Seite wird der Mobilfunkkanal durch
*das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ und<br>

*das Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$<br><br>

vollständig beschrieben. Durch geeignete Normierung auf die jeweilige Fläche $1$ ergeben sich daraus die Dichtefunktionen bezüglich der Verzögerungszeit $\tau$ bzw. der Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$.<br>

Aus den Leistungsdichtespektren bzw. den zugehörigen Korrelationsfunktionen können Kenngrößen abgeleitet werden. Die wichtigsten sind hier zusammengestellt:

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Mehrwegeverbreiterung''' (englisch: <i>Time Delay Spread</i> oder <i>Multipath Spread</i>&nbsp;) $T_{\rm V}$ gibt die Verbreiterung an, die ein Diracimpuls durch den Kanal im statistischen Mittel erfährt. $T_{\rm V}$ ist definiert als die Standardabweichung $(\sigma_{\rm V})$ der Zufallsgröße $\tau$:

::<math>T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} = \sqrt{ {\rm E} \big [ \tau^2 \big ] - m_{\rm V}^2}
  \hspace{0.05cm}.</math>

Der   Mittelwert $m_{\rm V} = {\rm E}\big[\tau \big]$ ist eine für alle Signalanteile &bdquo;gleiche mittlere Laufzeit&rdquo; (englisch: <i>Average Excess Delay</i>). ${\rm E} \big [ \tau^2 \big ] $] ist als quadratischer Mittelwert zu berechnen.}}


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Kohärenzbandbreite''' $B_{\rm K}$ (englisch: <i>Coherence Bandwidth</i>&nbsp;) ist derjenige $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem der Frequenzkorrelationsfunktion betragsmäßig erstmals auf die Hälfte abgesunken ist.

::<math>\vert \varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})\vert  \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot \vert \varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)\vert \hspace{0.05cm}.</math>

$B_{\rm K}$ ist ein Maß für die Frequenzdifferenz, um die sich zwei harmonische Schwingungen unterscheiden müssen, damit sie vollständig andere Kanalübertragungseigenschaften vorfinden. Ist die Signalbandbreite $B_{\rm S} <B_{\rm K}$, so werden alle Spektralanteile durch den Kanal annähernd gleich verändert. Das heißt: Genau dann liegt nichtfrequenzselektives Fading vor.}}


{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; In der Grafik links dargestellt ist die Verzögerungsleistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$
[[Datei:P ID2177 Mob T 2 3 S8 v3.png|right|frame|Mehrwegeverbreiterung und Kohärenzbandbreite|class=fit]]
*mit $T_{\rm V} = 1 \ \rm &micro;s$ (rote Kurve), 
*mit $T_{\rm V} = 2 \ \rm &micro; s$ (blaue Kurve). 


In der rechten $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&ndash;Darstellung sind die Kohärenzbandbreiten   eingezeichnet:
*$B_{\rm K} = 276  \ \rm  kHz$  (rote Kurve), 
*$B_{\rm K} = 138  \ \rm  kHz$  (blaue Kurve).
<br clear = all>
Man erkennt aus diesen Zahlenwerten:
*Die aus ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  berechenbare Mehrwegeverbreiterung $T_{\rm V}$ steht mit der durch $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ festgelegten Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ in einem festen Verhältnis zueinander: &nbsp; $B_{\rm K} \approx 0.276/T_{\rm V}$. 
*Die oft  [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk#Koh.C3.A4renzbandbreite_in_Abh.C3.A4ngigkeit_von_M|benutzte Näherung]] $B_{\rm K}\hspace{0.02cm}' \approx 1/T_{\rm V}$ ist bei exponentiellem  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ sehr ungenau.}}


Betrachten wir nun die Kenngrößen der Zeitvarianz, die von der Zeitkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ bzw. vom Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ abgeleitet werden:

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Korrelationsdauer''' $T_{\rm D}$ (englisch: <i>Coherence Time</i>&nbsp;) gibt die Zeit an, die im Mittel vergehen muss, bis der Kanal seine Übertragungseigenschaften aufgrund der Zeitvarianz völlig geändert hat. Die Definition ist ähnlich wie die Definition der Kohärenzbandbreite:

::<math>\vert \varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D})\vert  \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot \vert \varphi_{\rm Z}(\Delta t = 0)\vert  \hspace{0.05cm}.</math>}}


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Dopplerverbreiterung''' $B_{\rm D}$ (oder &bdquo;Fading&ndash;Bandbreite&rdquo;, englisch: <i>Doppler Spread</i>&nbsp;) ist die mittlere Frequenzverbreiterung, die die einzelnen spektralen Signalanteile erfahren.  Bei der Berechnung geht man ähnlich vor wie bei der Mehrwegeverbreiterung, indem man die Dopplerverbreiterung $B_{\rm D}$ als die Standardabweichung der Zufallsgröße $f_{\rm D}$ berechnet:

::<math>B_{\rm D} = \sigma_{\rm D} = \sqrt{ {\rm E} \left [ f_{\rm D}^2 \right ] - m_{\rm D}^2}
  \hspace{0.05cm}.</math>

*Zunächst ist aus ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ durch Flächennormierung auf $1$ die Doppler&ndash;WDF zu ermitteln. 
*Daraus ergeben sich die mittlere Dopplerverschiebung $m_{\rm D} = {\rm E}[f_{\rm D}]$ und die Standardabweichung $\sigma_{\rm D}$.}}<br>

{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die Grafik gilt für einen zeitvarianten Kanal ohne Direktkomponente.
[[Datei:P ID2181 Mob T 2 3 S8b v1.png|right|frame|Dopplerverbreiterung und Korrelationsdauer|class=fit]] 
Links dargestellt ist das [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes&ndash;Spektrum]] ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$. Die Dopplerverbreiterung $B_{\rm D}$ lässt sich daraus ermitteln:
::<math>f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 50\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm}:  \hspace{-0.1cm}\hspace{0.45cm} B_{\rm D} \approx 35\,{\rm Hz}  \hspace{0.05cm},</math>
::<math>f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 100\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm}:  \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} B_{\rm D} \approx 70\,{\rm Hz}  \hspace{0.05cm}.</math>

Die Zeitkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ als die Fourierrücktransformierte von ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ ist rechts skizziert. 

Bei den gegebenen Randbedingungen lautet diese mit der Besselfunktion:
::<math>\varphi_{\rm Z}(\Delta t \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}T_{\rm D}) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} {\rm J}_0(2 \pi \hspace{-0.05cm} \cdot \hspace{-0.05cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\Delta t ).</math>


$\text{Fazit:}$&nbsp; 
*Die Korrelationsdauer der blauen Kurve ist $T_{\rm D} = 4.84 \ \rm ms$. 
*Für $f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 100\,{\rm Hz}$ (rote Kurven) ist die Korrelationsdauer nur halb so groß. 
*Allgemein gilt im vorliegenden Fall: &nbsp; $B_{\rm D} \cdot T_{\rm D}\approx 0.17$.}}

== Simulation gemäß dem GWSSUS–Modell ==
<br>
Das abschließend in aller Kürze dargelegte <i>Monte&ndash;Carlo&ndash;Verfahren</i> zur Simulation eines GWSSUS&ndash;Mobilfunkkanals basiert auf Arbeiten von Rice [Ric44]<ref name='Ric44'>Rice, S.O.: ''Mathematical Analysis of Random Noise.'' BSTJ–23, pp. 282–232 und BSTJ–24, pp. 45–156, 1945.</ref> und Höher [Höh90]<ref name='Höh90'>Höher, P.: ''Empfang trelliscodierter PSK–Signale auf frequenzselektiven Mobilfunkkanälen – Entzerrung, Decodierung und Kanalschätzung.'' Düsseldorf: VDI–Verlag, Fortschrittsberichte, Reihe 10, Nr. 147, 1990.</ref>.

*Die 2D&ndash;Impulsantwort wird durch eine Summe aus $M$ komplexen Exponentialfunktionen dargestellt, wobei $M$ als die Anzahl unterschiedlicher Pfade interpretiert werden kann:

::<math>h(\tau, t)= \frac{1}{\sqrt {M}} \cdot \sum_{m=1}^{M}  \alpha_m  \cdot \delta (t - \tau_m) \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}   \phi_{m} }\cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}      t} 
 \hspace{0.05cm}. </math>

*Vor Beginn werden die Verzögerungen $\tau_m$, die Dämpfungsfaktoren $\alpha_m$, die gleichverteilten Phasen $\phi_m$ und die Dopplerfrequenzen $f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}$ nach den GWSSUS&ndash;Vorgaben &bdquo;ausgewürfelt&rdquo;.<br>

*Grundlage für das Auswürfeln der Dopplerfrequenzen $f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}$ ist das [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading |Jakes&ndash;Spektrum]] ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$, das &ndash; geeignet normiert &ndash; gleichzeitig die WDF der Dopplerfrequenzen angibt.<br>

*Wegen ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ ist für alle $m$ die Verzögerungszeit $\tau_m$ unabhängig von der Dopplerfrequenz $f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}$. Für den terrestrischen Landmobilfunk gilt dies mit guter Näherung.<br>

*Für das Auswürfeln der Parameter $\alpha_m$ und $\tau_m$, die das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum$ {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ bestimmen,  stehen die [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS–Kanalmodell#AKF_und_LDS_der_zeitvarianten_Impulsantwort|COST&ndash;Profile]] $\rm RA$ (<i>Rural Area</i>), $\rm TU$ (<i>Typical Urban</i>), $\rm BU$ (<i>Bad Urban</i>) und $\rm HT$ (<i>Hilly Terrain</i>) zur Verfügung.<br>

*Je größer bei der Simulation die Anzahl $M$ unterschiedlicher Pfade gewählt wird, um so besser wird eine reale Impulsantwort durch obige Gleichung angenähert.<br>

*Die höhere Simulationsgenauigkeit geht allerdings auf Kosten der Simulationsdauer. In der Literatur werden für $M$ günstige Werte zwischen $100$ und $600$ angegeben.<br>


[[Datei:P ID2183 Mob T 2 3 S9a.png|right|frame|Zeitvariante Übertragungsfunktion<br>(Betragsquadrat, simuliert)]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Die Grafik aus  [Hin08]<ref name='Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''.
Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> zeigt ein Simulationsergebnis: 

Als 2D&ndash;Plot ist  $20 \cdot  \lg \vert H(f, \hspace{0.05cm}t)\vert$ dargestellt, wobei die zeitvariante Übertragungsfunktion  $H(f, \hspace{0.05cm}t)$ in diesem Tutorial auch mit $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm}t)$ bezeichnet wird.<br>

Der Simulation liegen folgende Parameter zugrunde:
*Die <i>Zeitvarianz</i> entsteht durch eine Bewegung mit $v = 3 \ \rm  km/h$. 
*Die Trägerfrequenz ist $f_{\rm T} = 2 \ \rm  GHz$.<br>

*Die <i>maximale Verzögerungszeit</i> beträgt $\tau_{\rm max} \approx 0.4 \ \rm &micro; s$.
* Daraus ergibt sich nach der Näherung für die <i>Kohärenzbandbreite</i> $B_{\rm K}\hspace{0.02cm}' \approx 2.5 \ \rm MHz$.<br>

*Die maximale Dopplerfrequenz ist  $f_\text{D, max} \approx 5.5 \ \rm Hz$.
* Die Dopplerverbreiterung ergibt sich zu $B_{\rm D} \approx 4 \ \rm Hz$.}}
<br clear=all>

==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Scatter-Funktion|Aufgabe 2.5:  Scatter-Funktion]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Mehrwege-Szenario|Aufgabe 2.5Z:  Mehrwege-Szenario]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_Einheiten_bei_GWSSUS|Aufgabe 2.6:  Einheiten bei GWSSUS]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.7:_Kohärenzbandbreite|Aufgabe 2.7: Kohärenzbandbreite]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.7Z:_Kohärenzbandbreite_des_LZI–Zweiwegekanals|Aufgabe 2.7Z:  Kohärenzbandbreite des LZI–Zweiwegekanals]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.8:_COST-Verzögerungsmodelle|Aufgabe 2.8: COST-Verzögerungsmodelle]]

[[Aufgaben:Aufgabe_2.9:_Korrelationsdauer|Aufgabe 2.9: Korrelationsdauer]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>


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