Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.7Z: Erzeugung einer 2D–WDF


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Linearkombinationen von Zufallsgrößen
}}

[[Datei:P_ID423__Sto_Z_4_7.png|right|frame|Vorgaben zur Erzeugung einer <br>2D-Zufallsgröße]]
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$, die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
:$$x = A \cdot u + B \cdot  v + C,$$
:$$y= D \cdot u + E \cdot  v + F.$$

Die zu erzeugende 2D&ndash;Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
* Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$.
* Die Zufallsgröße $x$&nbsp; sei mittelwertfrei $(m_x =0)$.
* Für den Mittelwert von $y$&nbsp; gelte $m_y = 1$.
* Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$&nbsp; und $y$&nbsp; betrage $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
* Die Zufallsgröße $x$&nbsp; besitze eine dreieckförmige WDF  $f_x(x)$&nbsp; entsprechend der oberen Grafik.
* Die Zufallsgröße $y$&nbsp; besitze eine trapezförmige WDF  $f_y(y)$&nbsp; entsprechend der unteren Grafik.





''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen.
 


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $C$ und $F$.
|type="{}"}
$C \ = \ $ { 0. }
$F\ = \ $ { 1 3% }


{Bestimmen Sie die Koeffizienten $A$ und $B$.
|type="{}"}
$A \ = \ $ { 1.732 3% }
$B \ = \ $ { 1.732 3% }


{Bestimmen Sie die Koeffizienten $D$ und $E$, wobei $D > E$ gelten soll.
|type="{}"}
$D \ = \ $ { 3.464 3% }
$E \ = \ $ { 1.732 3% }


{Geben Sie die Maximalwerte f&uuml;r $x$ und $y$ an.
|type="{}"}
$x_\text{max}\ = \ $ { 3.464 3% }
$y_\text{max}\ = \ $ { 6.196 3% }


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Aufgrund der angegebenen Mittelwerte muss gelten: 
:$$ C = m_x\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
:$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$

'''(2)'''&nbsp; Unter Ber&uuml;cksichtigung von $\sigma^2 = 2/3$ gilt:
:$$\sigma_x^2 =  \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$

*Wegen $\sigma_x^2 = 4$ folgt daraus $A^2 + B^2= 6$. 
*Eine dreieckf&ouml;rmige WDF bedeutet, dass $A = \pm B$ gelten muss. 
*Somit erh&auml;lt man, da  negative Koeffizienten  ausgeschlossen wurden: 
:$$ A = B = \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.732}.$$
 
[[Datei:P_ID424__Sto_Z_4_7_d.png|right|frame|Rautenförmige 2D-WDF]]
'''(3)'''&nbsp; Mit $ A = B = \sqrt{3}$ entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen f&uuml;r $D$ und $E$:
:$$\sigma_y^2 =  \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2}  = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$
:$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D +  E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}}  \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$

*Daraus folgt weiter: $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$ 
*Die Gleichung führt in Verbindung mit $D^2 + E^2 = 15$ und der oben angegebenen Nebenbedingung$(D>E)$  zum Ergebnis:
:$$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$

'''(4)'''&nbsp; Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$&nbsp; bzw. $y$&nbsp; nehmen ihre maximalen Werte  an, wenn jeweils $u= +1$ und $v= +1$ gilt:
:$$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = +3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = -  A - B= -3.464.$$
:$$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = +6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= -4.196.$$

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.3 Linearkombinationen^]]