Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen
}}

[[Datei:P_ID678__Sto_Z_4_16.png|right|frame|Korrelationsmatrizen <br>$\mathbf{K_y}$ und $\mathbf{K_z}$ ]]
Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ mit den Dimensionen $N= 1$, $N= 2$ und $N= 3$:
* Die eindimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist durch die Varianz $\sigma^2 = 1$ bzw. die Streuung $\sigma = 1$ charakterisiert. <br>Wegen der Dimension $N= 1$ gilt $\mathbf{x} = x$.

* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten $y_1$ und $y_2$ der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$ beträgt $\rho = 1/3$ (siehe Matrix $\mathbf{K_y}$). <br>$y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.

* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{z}$ ist durch die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$ vollständig bestimmt.


Quantisiert man die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ im Bereich zwischen $-4$ und $+4$&nbsp; mit Intervallbreite $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt &nbsp;$N_1 = 256$&nbsp; unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit &nbsp;$n_1 = 8\ \rm {Bit}$&nbsp; benötigt würden.

Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße $\mathbf{y}$ insgesamt &nbsp;$N_2 = 256^2 = 65536$&nbsp; unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen $y_1$ &nbsp;und&nbsp; $y_2$  nicht berücksichtigt. 

Durch Ausnutzung dieser Korrelation &ndash; zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem $(y_1, y_2)$ zum neuen System $(\eta_1, \eta_2)$ &ndash; ergibt sich eine geringere Zahl $N_2\hspace{0.01cm}'$ quantisierter Wertepaare.

*Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung ($\sigma_1$  bzw. $\sigma_2$) im Bereich von $-4$ bis $+4$ zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen: &nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.

*Den Quotienten $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$ bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$. 
*In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$ 
*Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.







''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
*Insbesondere wird auf die Seite &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren|Eigenwerte und Eigenvektoren]]&nbsp; Bezug genommen.
*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]]. 
 
*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet: &nbsp; $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
*Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist $\lambda_1 = 5/3$.


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$. Es gelte $\lambda_1 \ge \lambda_2$.
|type="{}"}
$\lambda_1 \ = \ $ { 1.333 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$ 
$\lambda_2 \ = \  $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$


{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$?
|type="{}"}
$N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $ { 0.943 3% }


{Es gelte $\lambda_1 = 5/3$. Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3 \le \lambda_2$ von $\mathbf{K_z}$.
|type="{}"}
$\lambda_2 \ =  \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$
$\lambda_3 \ =  \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_3 \le \lambda_2)$


{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$?
|type="{}"}
$N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Aus der Bedingung $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$ folgt:
:$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}
1- \lambda & 1/3 \\
1/3 & 1- \lambda
\end{array} \right] = (1-\lambda)^2 -{1}/{9} = 0
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ {8}/{9}= 0
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda_{1/2}= 1 \pm
\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$

Die Eigenwerte dieser $2\times2$-Matrix sind somit $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$  und $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.

'''(2)'''&nbsp; Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$ verschiedene Wertepaare. 
*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten $\eta_1$ und $\eta_2$ jeweils im Bereich von $-4\sigma_1$ bis $+4\sigma_1$ (bzw. von $-4\sigma_2$ bis $+4\sigma_2$) zu quantisieren sind, erhält man
:$$N_2' =  \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8
\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot
\sigma_2 .$$

*Der Quotient lautet somit mit  $\sigma_1^2 = \lambda_1$ und $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
:$${N_2'}/{N_2} =   \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}
\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$

'''(3)'''&nbsp; Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:
:$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc}
1-\lambda & 1/3 & 1/3\\
1/3 & 1-\lambda & 1/3\\
1/3 & 1/3 & 1-\lambda
\end{array}\right] = 0 \hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) \left[(1- \lambda)^2 -
\frac{1}{9} \right]- \frac{1}{3} \left[\frac{1}{3}(1- \lambda) -
\frac{1}{9} \right] + \frac{1}{3} \left[\frac{1}{9} -
\frac{1}{3}(1- \lambda)
 \right] = 0$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) (\lambda^2 -2\lambda+
\frac{8}{9})- \frac{1}{9} (\frac{2}{3}- \lambda )+ \frac{1}{9} (
\lambda - \frac{2}{3})= 0$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{8}{9} -
\lambda^3 + 2 \lambda^2 - \frac{8}{9}\lambda - \frac{4}{27} +
\frac{2}{9}\lambda = 0 \hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^3 -  3 \lambda^2 +
\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27}  = 0.$$

Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen: &nbsp; $\lambda_1= 5/3$. Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3$ zu
:$$\frac{\lambda^3 -  3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -
{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} =  \lambda^2 -
{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$

Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen: $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$

Die weiteren Eigenwerte neben $\lambda_1= 5/3$ sind somit gleich und ergeben sich zu $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.

'''(4)'''&nbsp; Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe (2) ergibt sich hier:
:$${N_3'}/{N_3} =   \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot
\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}
= \sqrt{\frac{20}{27}}  \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$
{{ML-Fuß}}



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